1.3.2. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств

Если между двумя конечными множествами А и В существует взаимнооднозначное соответствие, то эти множества равномощны. Этот очевидный факт позволяет, во-первых, установить равенство мощности этих множеств, не вычисляя их. Во-вторых, часто можно вычислить мощность множества, установив его однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна, либо легко вычисляется.

Теорема. Если мощность конечного множества А равна n, то число всех подмножеств А равно , то есть .

Множество А называется счётным множеством, если оно равномощно множеству натуральных чисел : .

Множество N² – счетно.

Доказательство

Разобьем N² на классы

К 1-ому классу отнесем все пары чисел с минимальной суммой N₁ (1;1)

1-ый элемент 1-го множества

1-ый элемент

2-го множества

Ко 2-му классу отнесем все пары чисел с суммой 3: N₂ {(1;2), (2;1)}

К i-му классу N_i {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядочим классы по возрастанию индексов i, а пары внутри класса упорядоченные по возрастанию первого элемента а. Занумеруем получившуюся последовательность пар номерами 1,2,3.. Видно, что если a+b=i+1, то пара (a,b) получит номер 1+2+..+(i-1)+. Эта нумерация и доказывает счетность множества N².

Аналогично доказывается счетность множеств N³,…,N^k.

Теорема (теорема Кантора). Множество всех действительных чисел из отрезка не является счётным.

Доказательство. Допустим, что множество является счётным и существует его нумерация. Поскольку любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической), то проделаем это с числами данного множества. Расположим их в порядке этой нумерации:

Теперь рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь вида , организованную таким образом, что и так далее. Очевидно, что данная дробь не входит в рассматриваемую последовательность, поскольку от первого числа она отличается первой цифрой после запятой, от второго – второй цифрой и так далее. Следовательно, мы получили число из данного интервала, которое не пронумеровано и, таким образом, множество не является счётным. Его мощность называется континуум, а множества такой мощности называются континуальными. Приведённый метод доказательства называется диагональным методом Кантора.

Следствие 1. Множество действительных чисел континуально.

Следствие 2. Множество всех подмножеств счётного множества континуально.

1.3.3. Функции и отображения

Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет вид (обозначение ). Каждому элементу а из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент из области значений. Это записывается в традиционной форме . Элемент а называется аргументом функции, элемент - её значением.

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Соответствия между множествами М_х и М_у

Соответствие установленное между множествами M_X и M_Y называется взаимноодназначным соответствием, если каждому хM_X соответствует 1 элемент yM_Y и обратное справедливо.

Полностью определённая функция называется отображением А в В; образ множества А при отображении обозначается . Если при этом , то есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет отображение А на В.

Пример 2.

а) Функция является отображением множества натуральных чисел в себя. Эта же функция при всех является отображением множества целых чисел в множество рациональных чисел.

б) Функция является взаимнооднозначным отображением множества действительных чисел на себя.

в) Функция не полностью определена, если её тип , но полностью определена, если её тип или .

Функции f u g равны, если:

• их области определения - одно и то же множество A,

• для любого аA f(a)=g(а).

Функция типа называется n-местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет n аргументов: , где . Например, сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на , то есть функциями типа .

Пусть дано соответствие . Если соответствие таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие называют обратным соответствием к и обозначают .

Если соответствие, обратное к функции является функциональным, то оно называется обратной функцией, обратной к .

В обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, поэтому для существования обратной функции требуется, чтобы каждый элемент из области значения имел бы единственный прообраз. Это означает, что для функции обратная функция существует тогда и только тогда, когда является биективным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пусть даны функции и . Функция называется композицией функций и (обозначается ), если имеет место равенство: , где .

Композиция функций и представляет собой последовательное применение этих функций; g применяется к результату .Часто говорят, что функция h получена подстановкой в g.

Для многоместных функций возможны различные варианты подстановок в , дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа: . В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов. Функция, полученная из данных функций некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется их суперпозицией.

Способы задания функций:

1. таблицы, определены для конечных множеств;

2. формула;

3. графики;

4. рекурсивная вычислительная процедура, например факториал.