Вопросы для повторения

1. Что такое множество?

2. Дайте определение булеану?

3. Что больше множество, подмножество или универсальное множество?

4. В чем отличие операции объединения и пересечения?

5. В чем заключается свойство коммутативности?

6. Операция пересечения множества с пустым множеством в результате даст?

7. Перечислите три способа задания множества?

8. Назовите два признака равенства множеств?

9. В каком случае равны два вектора?

Резюме по теме

Рассмотрены основные понятия множества, такие как пустое множество, подмножество, универсальное множество, булеан и так далее. Показаны основные операции над множествами и их свойства, которые проиллюстрированы диаграммами Венна. Рассмотрены векторы и прямые произведения.

Тема 1.2. Отношения

Цель: ознакомиться с понятием отношение. Получить общие представления о бинарных отношениях.

Задачи:

1. Освоить основные понятия и определения отношений.

2. Рассмотреть бинарные отношения.

3. Изучить свойства бинарных отношений.

4. Изучить понятия эквивалентность и порядок.

1.2.1. Основные понятия и определения

Отношения - один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то определенного признака R (свойства) у элементов множества М (например, «быть менеджером» на множестве сотрудников фирмы). Такие отношения называют признаками. Говорят, что а обладает признаком , если и . Свойства одноместных отношений – это свойства подмножеств А, поэтому для случая термин «отношения» употребляется редко. Иными словами, все такие элементы а из множества М, которые отличаются данным признаком R, образуют некоторое подмножество в М, называемое унарным отношением R, т.е. а  R и R  М.

Бинарные (двухместные) отношения используются для определения каких-то взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов в множестве М (например на множестве сотрудников фирмы может быть задано бинарные отношение «быть моложе» или же «работать в одном отделе»). Тогда все пары (а, b) элементов из М, между которыми имеет место данное отношение R, образуют подмножество пар из множества всех возможных пар элементов МхМ= М², называемое бинарным отношением R, т.е. (a, b)  R, при этом R  МхМ

Под п-местным отношением понимают подмножество R прямого произведения п множеств: R  М_] х М₂ х ... х М_n. Говорят, что элементы а1,а2,… а_п (а1  М1, а₂  М₂,..., а_п  Мn) находятся в отношении R, если (а1, а₂ ..аn)  R.

Пример 1.

Бинарные отношения на множестве профессий. Отношение «быть менеджером» выполняется для пары (менеджер по продажам, менеджер по закупкам) не выполняется для пары (инженер проектировщик, менеджер по продажам).

Пример 2.

Бинарные отношения на множестве точек координатной плоскости. Отношение «быть равноудалёнными от начала координат» выполнятся для пар точек и , но не выполнятся для пары точек и .

1.2.2. Бинарные отношения. Основные определения

Бинарным (двухместным) отношением R называется подмножество пар (a, b)  R прямого произведения М1хМ2 т.е. RМ1хМ2. При этом множество М1 называют областью определения отношения R, множество М2- областью значений. Часто рассматривают отношения R между парами элементов одного и того же множества М, тогда RMxM. Если а, b находятся в отношении R, это часто записывается как а Rb.

Пусть RAхВ определено в соответствии с изображением на рис. 1.6. Область определения D(R) и область значений Q(R) определяются соответственно:

D(R) = {а: (а, b) R}, Q(R) = {b: (a, b) R}.

Рис. 1.6. Отношение R на множествах А и В

Способы задания бинарных отношений - любые способы задания множеств (так как отношения определены выше как подмножества некоторых множеств - прямых произведений). Отношения, определенные на конечных множествах, обычно задаются:

1. Списком {перечислением) пар, для которых это отношение выполняется (например R = {(d, b), (f, r), (s,d)}.

2. Матрицей - бинарному отношению RМхМ, где М= {a₁,a₂ ..а_п}, соответствует квадратная матрица порядка n, в которой каждый элемент определяется следующим образом:

Пример 3.

Для конечного множества задать списком и матрицей отношение R «иметь общий делитель равный двум».

Отношение R содержит все пары элементов (a,b) из M, такие что оба они делятся на 2 без остатка (табл. 1.1). Тогда R={(2,2),(4,2),(6,2),(2,4),(4,4),(6,4),(2,6),(4,6),(6,6)}

Таблица 1.1. Матрица отношения «иметь общий делитель равный двум»

R	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	0	0	0	0
4	0	1	0	1	0	1
5	0	0	0	0	0	0
6	0	1	0	1	0	1

Отношение называется обратным к отношению , если тогда и только тогда, когда . Непосредственно из определения следует, что . Например, для отношения « » обратным является отношение « ».

Пусть R - отношение на множестве М, RМхМ, Тогда:

1) Отношение называется рефлексивным, если для любого элемента имеет место . Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы (например отношения « » и «иметь общий делитель»).

2) Отношение называется антирефлексивным, если ни для какого элемента не выполняется . Главная диагональ матрицы антирефлексивного отношения содержит только нули (например отношения « » и «иметь сына»).

3) Отношение называется симметричным, если для любой пары из отношения следует . Иными словами, отношение является симметричным тогда и только тогда, когда для любой пары оно выполняется в обе стороны (или вовсе не выполняется). Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали: для любых . (например отношение «быть симметричным относительно оси абсцисс» является симметричным: если первая точка симметрична второй относительно этой оси, то и вторая точка симметрична первой, «работать на одной фирме»).

4) Отношение называется антисимметричным, если из отношений и следует, что . (например отношение « » является антисимметричным. Действительно, если и , это означает, что ).

5) Отношение называется транзитивным, если для любых из отношений и следует . (пример отношения «быть равным», «жить в одном городе», «быть параллельным». Отношение «быть сыном» не является транзитивным).

Замечание. В отличие от отношений рефлексивности и симметричности, для отношения транзитивности не формулируется противоположного понятия (антитранзитивности).