Вопросы для повторения

1.Что называется булевой алгеброй?

2.Является ли базис функций импликация, эквивалентность и отрицание булевой алгеброй?

3.Назовите этапы приведения логической формулы к СДНФ?

4.Каким образом осуществляется замена переменной формулой?

5.Как доказывается эквивалентность формул?

Резюме по теме

Рассмотрена алгебра логики. Приведены логические функции, которые являются базисом булевой алгебры. Показам способ перехода от любой логической функции к базису булевой алгебры (приведение к СДНФ). Показаны эквивалентные преобразования, используемые при работе по упрощению логических функций.

Тема 2.3. Полнота и замкнутость

Цель: изучить функционально полные системы.

Задачи:

Рассмотреть функционально полные системы.
Рассмотреть алгебру Жегалкина и линейные функции.
Ознакомиться с замкнутыми классами и монотонными функциями.
Рассмотреть теоремы о функциональной полноте.

Ранее нами рассматривались два способа задания логических функций – табличный и с помощью формул. Таблица задаёт функцию непосредственно как соответствие между двоичными наборами и значениями функции на этих наборах. Этот способ универсален, то есть, пригоден для любых функций, однако слишком громоздок. Формула – гораздо более компактный способ задания функции, но она задаёт функцию через другие функции. Поэтому для любой системы функций возникает естественный вопрос: всякая ли логическая функция представима формулой в этой системе. В предыдущей лекции был получен положительный ответ для системы . В данной лекции будет показано, как решать этот вопрос для произвольной системы .

2.3.1. Функционально полные системы

Система функций называется функционально полной системой, если любая логическая функция может быть представлена формулой над системой (является суперпозицией функций этой системы).

Из теоремы 1 (из предыдущей лекции) следует, что система является функционально полной. Равным образом, функционально полна любая система , через функции которой можно выразить конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Действительно, для любой логической функции из такой системы следует составить булеву формулу (а она обязательно существует согласно теореме 1 (из предыдущей лекции)) и потом выразить в ней конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание через функции системы . Аналогично обосновывается более общее утверждение.

Теорема 1. Если все функции функционально полной системы представимы формулами над системой , то система также функционально полна.

Пример 1.

а) Системы и функционально полны. Действительно, с помощью законов Де Моргана и двойного отрицания можно выразить в каждой из этих систем функцию, недостающую до через остальные две:

С точки зрения функциональной полноты систему следует считать избыточной: она сохраняет свойство полноты и при удалении из неё конъюнкции или дизъюнкции. Однако легко видеть из приведённого примера, что, хотя системы и не являются избыточными, зато формулы в них получаются гораздо длиннее: замена одной операции на другую вносит в формулу сразу три лишних отрицания.