![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение в дискретный анализ
- •Глава 1. Введение в теорию множеств
- •Тема 1.1. Множества и операции над ними
- •1.1.1. Основные понятия
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Векторы и прямые произведения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.2. Отношения
- •1.2.1. Основные понятия и определения
- •1.2.2. Бинарные отношения. Основные определения
- •1.2.4. Эквивалентность и порядок
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.3. Соответствия и функции
- •1.3.1. Соответствия и их свойства
- •1.3.2. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств
- •1.3.3. Функции и отображения
- •1.3.4. Операции
- •1.3.5. Гомоморфизмы и изоморфизмы
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 2. Математическая логика
- •Тема 2.1. Логика высказываний
- •2.1.1. Логические связки
- •2.1.2. Основные схемы логически правильных рассуждений
- •2.2.2. Булева алгебра
- •2.2.3. Эквивалентные преобразования
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.3. Полнота и замкнутость
- •2.3.1. Функционально полные системы
- •2.3.2. Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •2.3.3. Замкнутые классы и монотонные функции
- •2.3.4. Теоремы о функциональной полноте
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.4. Нечеткая логика
- •2.4.1. Основные понятия теории нечетких множеств
- •2.4.2. Логические операции над нечеткими множествами
- •2.4.3. Свойства логических операций над нечеткими множествами
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.5. Нечеткие модели управления
- •2.5.1. Нечеткие операторы
- •2.5.2. Нечеткая и лингвистическая переменные
- •2.5.3. Нечеткий логический вывод
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.6. Логика предикатов
- •2.6.1. Предикаты. Основные понятия
- •2.6.2. Кванторы
- •2.6.3. Выполнимость и истинность
- •2.6.4. Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 3. Комбинаторика
- •Тема 3.1. Комбинаторные конфигурации
- •3.1.1. Принципы сложения и умножения
- •3.1.2. Перестановки
- •3.1.3. Размещения
- •3.1.4. Сочетания
- •3.2.2. Полиномиальная формула
- •3.2.3. Формула включений и исключений
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 4. Теория графов
- •Тема 4.1. Основные понятия и операции на графах
- •4.1.1. Основные понятия
- •4.1.2. Способы задания графов
- •4.1.3. Операции над частями графа. Графы и бинарные отношения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 4.2. Маршруты и деревья
- •4.2.1. Маршруты, пути, цепи, циклы
- •4.2.2. Дерево и лес
- •5.1.2. Способы задания автоматов
- •5.1.3. Взаимосвязь между моделями Мили и Мура
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 5.2. Детерминированные конечные автоматы
- •5.2.1.Основные понятия детерминированных конечных автоматов
- •5.2.2. Схема доказательства правильности конечного автомата
- •5.2.3. Произведение автоматов
- •5.3.2. Детерминизация нка
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
2.6.1. Предикаты. Основные понятия
п-местный предикат - это функция Р(х1 х2, хп) от п переменных, принимающих значения из некоторых заданных предметных областей, так что ,a функция P принимает два логических значения – «истинно» или «ложно».
Таким
образом, предикат
Р(х1,
х2,
..., хп)
является
функцией типа
,
где
множества,
называются
предметными
областями предиката;
х1,
х2,
..., хп
-предметными переменными предиката;
В
= {1,0}.
Соответствия между предикатами, отношениями и функциями:
1. Для
любых М
и
п
существует
взаимно однозначное соответствие между
n-местными
отношениями
u
n-местными
предикатами Р(х1,
х2,
..., хп),
:
каждому n-местному отношению R соответствует предикат Р(х1, х2, ..., хп), такой, что Р(a1, a2, ...,aп) = 1, если и только если (a1, a2, ..., aп) R;
всякий предикат Р(х1, х2, ..., хп) определяет отношение R такое, что (a1, a2, ..., aп) R, если и только если Р(a1, a2, ...,aп) = 1.
При этом R задает область истинности предиката Р.
2. Всякой
функции
f(х1,
х2,
..., хп)
,
соответствует
предикат Р(х1,
х2,
..., хп,
хп+1)=1
такой,
что Р(a1,a2,
..., aп,
aп+1)=1,
если и только если
f(a1,
a2,
..., aп)=an+1.
Обратное соответствие (от (n+1)-местного предиката (рис. 2.17) к n-местной функции) возможно не всегда, а только для таких предикатов Р’ для которых выполняется условие (связанное с требованием однозначности функции): Р(a1, a2, ...,aп, aп+1) = 1, то для любого
a’п+1 ≠aп+1 Р(a1, a2, ...,aп, a’п+1) = 0 {1}
Аналогичное соответствие (взаимно однозначное) имеется между подмножеством отношений {R'} {R} и множеством функций {f}.
Для этого класса отношений выполняется аналогичное условие: если (a1,a2, ..., aп, aп+1) R’ то для любого a’п+1 ≠aп+1, (a1,a2, ..., aп, aп+1) R’
Выражение Р(a1, a2, ...,aп) будем понимать как высказывание «Р(a1, a2, ...,aп)=1», а выражение Р(х1, х2, ..., хп) - как переменное высказывание, истинность которого определяется подстановкой элементов множества М вместо переменных (х1, х2, ..., хп).
Для обозначения двухместных предикатов помимо префиксной записи Р(х1, х2) используется нередко инфиксная запись х1Рх2
Пример 2.
Каким отношениям и функциям соответствуют следующие предикаты, определенные на множестве натуральных чисел:
1. Предикат тождества E:N2→В: Е(а], а2) = 1 тогда и только тогда, когда а]=а2
Двухместному предикату тождества Е – «x]=x2» взаимно однозначно соответствуют:
а) двухместное
отношение R1
, -
«быть
равным»,
,
тогда и только тогда, когда Е
(a1,
а2)
= 1;
б) одноместная
функция (операция) тождества f1(x1)=х2,
а именно:
.
2. Предикат делимости D: N2→В: D (а], а2) = 1 тогда и только тогда, когда а] делится на а2:
Двухместному
предикату делимости D
– «х1
делится на х2»
взаимно однозначно соответствует
двухместное отношение R2
– «делиться»,
тогда и только тогда, когда D
(a1,
а2)
= 1.
Однако функции f1(x1)=х2
для
предиката делимости D
(x1,
x2)
не существует, так как не выполнено
условие (1), например D(6,
2) = 1 и D(6,
3) = 1, однако 2≠3.
3. Предикат суммы S:N3→В: S(а1, а2, а3) = 1 тогда и только тогда, когда а1+a2 = a3.
Трехместному предикату суммы S – «x1+x2 =x3» взаимно однозначно соответствуют:
а) трехместное
отношение:
тогда и только тогда, когда S(а1,
а2,
а3)
= 1;
б) двухместная функция (операция арифметики) - сложение f(х1, х2) = х3, а именно: х1 + х2 = х3.