- •Введение в дискретный анализ
- •Глава 1. Введение в теорию множеств
- •Тема 1.1. Множества и операции над ними
- •1.1.1. Основные понятия
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Векторы и прямые произведения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.2. Отношения
- •1.2.1. Основные понятия и определения
- •1.2.2. Бинарные отношения. Основные определения
- •1.2.4. Эквивалентность и порядок
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.3. Соответствия и функции
- •1.3.1. Соответствия и их свойства
- •1.3.2. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств
- •1.3.3. Функции и отображения
- •1.3.4. Операции
- •1.3.5. Гомоморфизмы и изоморфизмы
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 2. Математическая логика
- •Тема 2.1. Логика высказываний
- •2.1.1. Логические связки
- •2.1.2. Основные схемы логически правильных рассуждений
- •2.2.2. Булева алгебра
- •2.2.3. Эквивалентные преобразования
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.3. Полнота и замкнутость
- •2.3.1. Функционально полные системы
- •2.3.2. Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •2.3.3. Замкнутые классы и монотонные функции
- •2.3.4. Теоремы о функциональной полноте
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.4. Нечеткая логика
- •2.4.1. Основные понятия теории нечетких множеств
- •2.4.2. Логические операции над нечеткими множествами
- •2.4.3. Свойства логических операций над нечеткими множествами
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.5. Нечеткие модели управления
- •2.5.1. Нечеткие операторы
- •2.5.2. Нечеткая и лингвистическая переменные
- •2.5.3. Нечеткий логический вывод
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.6. Логика предикатов
- •2.6.1. Предикаты. Основные понятия
- •2.6.2. Кванторы
- •2.6.3. Выполнимость и истинность
- •2.6.4. Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 3. Комбинаторика
- •Тема 3.1. Комбинаторные конфигурации
- •3.1.1. Принципы сложения и умножения
- •3.1.2. Перестановки
- •3.1.3. Размещения
- •3.1.4. Сочетания
- •3.2.2. Полиномиальная формула
- •3.2.3. Формула включений и исключений
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 4. Теория графов
- •Тема 4.1. Основные понятия и операции на графах
- •4.1.1. Основные понятия
- •4.1.2. Способы задания графов
- •4.1.3. Операции над частями графа. Графы и бинарные отношения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 4.2. Маршруты и деревья
- •4.2.1. Маршруты, пути, цепи, циклы
- •4.2.2. Дерево и лес
- •5.1.2. Способы задания автоматов
- •5.1.3. Взаимосвязь между моделями Мили и Мура
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 5.2. Детерминированные конечные автоматы
- •5.2.1.Основные понятия детерминированных конечных автоматов
- •5.2.2. Схема доказательства правильности конечного автомата
- •5.2.3. Произведение автоматов
- •5.3.2. Детерминизация нка
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
Тема 2.1. Логика высказываний
Цель: ввести логическую терминологию.
Задачи:
Рассмотреть понятие логические связки.
Рассмотреть основные схемы логически правильных рассуждений.
В математической логике изучаются способы (правила) формального представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логически выдержанных преобразований, а также способы (методы) установления истинности или ложности высказываний. Два основных раздела математической логики: логика высказываний и логика предикатов (рис. 2.1), для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления. Между данными подходами имеет место изоморфизм, который характеризуется единством законов логики.
Рис. 2.1. Разделы математической логики и способы их построения
Высказывание - повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Пример 1.
Высказываний: «Информационный менеджмент специальность факультета управления и предпринимательства», «Регистрация фирмы требует наличия ее устава», «Рубль - российская валюта», «Все люди смертны».
Истинность или ложность суждения зависит от того, к какой предметной области мы его относим, иными словами в каком контексте употребляем.
2.1.1. Логические связки
Высказывание простое (элементарное), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества). Простые высказывания принимают либо истинное либо ложное значение, но не то и другое вместе. Данные высказывания обычно не содержат логических связок.
Высказывание сложное (составное) - высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.
В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или», «не»; слова «если то», «либо ... либо» (в разделительном смысле), «тогда и только тогда, когда» и др. В логике высказываний логические связки обязаны быть определенными точно.
Основные логические связки (операции)логики высказываний:
Конъюнкцией (операцией «И») двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное - во всех других случаях. Обозначение: Р&Q, Р^Q, Р*Q.
Пример 2.
Для укола необходимы шприц и лекарство. Высказывание состоит из двух простых: А – «для укола необходим шприц», В – «для укола необходимо лекарство». Высказывания А и В соединены связкой «и» следовательно выражение истинно только при одновременной истинности двух высказываний A^B.
Дизъюнкцией (операцией «ИЛИ») двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное - во всех других случаях. Обозначение: PvQ, Р+Q.
Пример 3.
У человека технический склад ума или гуманитарный. Высказывание состоит из двух простых: А – «у человека технический склад ума», В – «у человека гуманитарный склад ума». Высказывания А и В соединены связкой «или» следовательно выражение принимает вид AvB.
Отрицанием (инверсией) высказывания Р называется высказывание, истинное, когда высказывание Р ложно, и ложное - в противном случае. Обозначение: .
Импликацией (логическим, следованием) двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное, когда Р истинно, a Q ложно; во всех других случаях - истинное. Обозначение: P→Q (если Р то Q). При этом высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q- заключением.
С понятием импликация возникают некие вопросы. Рассмотрим их на примере.
Пример 4.
Если у делится на 4 то у делится на 2. Высказывание состоит из двух простых: А – «у делится на 4», В – «у делится на 2». Высказывание Если А то В истинно при всех у. При у=5 обе части ложны, а высказывание истинна. При у=6 посылка ложна, а заключение истинна и вся импликация истинна. При у=8 обе части истинна и высказывание истинна. Если же переформулировать высказывание «Если у делится на 2 то у делится на 4., то получим при у=2 посылка истинна, а заключение ложно и вся импликация ложна.
Если считать, что истинность импликации определяется истинностью ее частей, а не наличием между ними каких-либо причинно-следственных связей, то все строки таблицы истинности обоснованы.
Эквивалентностью (эквиваленцией, равнозначностью) двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное, когда истинностные значения Р и Q совпадают, и ложное - в противном случае. Обозначение: Р~ Q, P≡Q, P↔Q (Р эквивалентно Q).
Пример 5.
Что в лоб, что по лбу. А – «В лоб», В – «По лбу»,представимо логической формулой А~ В.
Неравнозначностью (исключающим "ИЛИ", сложением по модулю 2) двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное, когда истинностные значения Р и Q не совпадают, и ложное - в противном случае. Обозначение: Р Q (либо Р, либо Q).
Пример 6.
Сегодня понедельник или вторник. Высказывание состоит из двух простых: A – «Сегодня понедельник»; В – «Сегодня вторник». Высказывания А, В соединены связкой «или» в разделительном смысле, т.е A B.
Будем называть выражение, составленное из обозначений высказываний и связок (и, разумеется, скобок), - логической формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям:
любая переменная, обозначающая высказывание является формулой;
если A и В- формулы, то (А & В), (Р v Q), P→Q, Р~ Q, Р Q - формулы;
других формул нет.
Пример7.
Представить выражение «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые» логической формулой.
А – «Идет дождь», В – «Крыши мокрые». В первом предложении «Если идет дождь, то крыши мокрые» высказывания A и B соединены связкой «если…то» A→B. Во втором «Дождя нет, а крыши мокрые» имеет смысл связки «и» и кроме этого высказывание А следует взять с отрицанием & В. Объединив два высказывания в одно связкой &: (A→B) & ( & В)