![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение в дискретный анализ
- •Глава 1. Введение в теорию множеств
- •Тема 1.1. Множества и операции над ними
- •1.1.1. Основные понятия
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Векторы и прямые произведения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.2. Отношения
- •1.2.1. Основные понятия и определения
- •1.2.2. Бинарные отношения. Основные определения
- •1.2.4. Эквивалентность и порядок
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.3. Соответствия и функции
- •1.3.1. Соответствия и их свойства
- •1.3.2. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств
- •1.3.3. Функции и отображения
- •1.3.4. Операции
- •1.3.5. Гомоморфизмы и изоморфизмы
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 2. Математическая логика
- •Тема 2.1. Логика высказываний
- •2.1.1. Логические связки
- •2.1.2. Основные схемы логически правильных рассуждений
- •2.2.2. Булева алгебра
- •2.2.3. Эквивалентные преобразования
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.3. Полнота и замкнутость
- •2.3.1. Функционально полные системы
- •2.3.2. Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •2.3.3. Замкнутые классы и монотонные функции
- •2.3.4. Теоремы о функциональной полноте
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.4. Нечеткая логика
- •2.4.1. Основные понятия теории нечетких множеств
- •2.4.2. Логические операции над нечеткими множествами
- •2.4.3. Свойства логических операций над нечеткими множествами
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.5. Нечеткие модели управления
- •2.5.1. Нечеткие операторы
- •2.5.2. Нечеткая и лингвистическая переменные
- •2.5.3. Нечеткий логический вывод
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.6. Логика предикатов
- •2.6.1. Предикаты. Основные понятия
- •2.6.2. Кванторы
- •2.6.3. Выполнимость и истинность
- •2.6.4. Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 3. Комбинаторика
- •Тема 3.1. Комбинаторные конфигурации
- •3.1.1. Принципы сложения и умножения
- •3.1.2. Перестановки
- •3.1.3. Размещения
- •3.1.4. Сочетания
- •3.2.2. Полиномиальная формула
- •3.2.3. Формула включений и исключений
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 4. Теория графов
- •Тема 4.1. Основные понятия и операции на графах
- •4.1.1. Основные понятия
- •4.1.2. Способы задания графов
- •4.1.3. Операции над частями графа. Графы и бинарные отношения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 4.2. Маршруты и деревья
- •4.2.1. Маршруты, пути, цепи, циклы
- •4.2.2. Дерево и лес
- •5.1.2. Способы задания автоматов
- •5.1.3. Взаимосвязь между моделями Мили и Мура
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 5.2. Детерминированные конечные автоматы
- •5.2.1.Основные понятия детерминированных конечных автоматов
- •5.2.2. Схема доказательства правильности конечного автомата
- •5.2.3. Произведение автоматов
- •5.3.2. Детерминизация нка
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
1.1.2. Операции над множествами
Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Обозначение С = А В.
Пусть даны два
множества
A
и B.
Тогда их объединением (рис. 1.2) называется
множество A
B
= {x:x
A
или x
B}
Г
еометрическое
изображение множеств в виде области на
плоскости называется диаграммой
Венна.
Рис. 1.2. Объединение множеств А и В.
Свойства:
объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2X;
операция объединения множеств коммутативна
;
операция объединения множеств транзитивна
;
пустое множество Х={} является нейтральным элементом операции объединения множеств
.
.
Пример 4.
Пусть A={1,2,3,4},
B={3,4,5,6,7}.
Тогда
.
Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат и А и В. Обозначение С = А В.
Пусть даны два
множества
A
и B.
Тогда их пересечением (рис. 1.3) называется
множество A
B = {x:x
A
и x
B}.
А
В
С
Рис. 1.3. Пересечение множеств А и В.
Пересечение прямой и плоскости:
если прямые не параллельны плоскости, то множество пересечений – единственная точка;
если прямые параллельны плоскости, то M ;
если прямые совпадают с плоскостью, то множество пересечений = множеству точек прямой.
Свойства:
пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2X;
операция пересечения множеств коммутативна
;
операция пересечения множеств транзитивна
;
универсальное множество Е является нейтральным элементом операции пересечения множеств
;
операция пересечения множеств идемпотентна
;
если Х={} — пустое множество, то
.
Пример 5.
Пусть
A
= {1,2,3,4},B
= {3,4,5,6}.
Тогда
.
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается: С=А\В.
П
усть
даны два
множества
A
и B.
Тогда их разностью (рис. 1.4) называется
множество A \B
= {x:x
A
и x
B}.
Рис. 1.4. Разность множеств А и В.
Свойства:
строго двухместна (т е определена только для двух множеств);
не коммутативна, т.е. A\B B\A. Если A\B=, то А В;
A \ =A, A \ A=.
Пример 6.
Если A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h}. Тогда C = A \ B={a}.
Если все
рассматриваемые множества являются
подмножеством некоторого «универсального
множества» множества Е, то может быть
определена операция дополнения.
Дополнением (рис. 1.5) до Е
множества А
называется множество всех элементов,
не принадлежащих А
(но принадлежащих Е)
,
где E
– универсальное множество;
- дополнение.
Рис. 1.5. Дополнение множества А до универсального множества Е.
Свойства:
E \ A = ;
A \ E=.
1.1.3. Векторы и прямые произведения
Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов.
Элементы, определяющие
вектор, называются координатами
или компонентами. Координаты нумеруются
слева направо, а их число называется
длиной или размерностью вектора. В
отличие от элементов множества, координаты
вектора могут совпадать. Координаты
вектора заключаются в круглые скобки,
например
.
Иногда скобки или запятые опускаются.
Два вектора
равны, если
они имеют равную длину и их соответствующие
координаты равны. Иначе говоря, векторы
и
равны, если
и
.
Прямым
произведением
множеств А
и В
(обозначение
)
называется множество всех упорядоченных
пар
,
таких, что
.
В частности, если А=В,
то обе координаты принадлежат множеству
А,
такое произведение обозначается А2.
Аналогично, прямым произведением
множеств
называется
множество всех векторов
длины
п,
таких, что
.
Пример 7.
Множество
- это множество всех упорядоченных пар
действительных чисел, геометрической
интерпретацией которого служит декартова
координатная плоскость. Координатное
представление точек плоскости было
впервые предложено Р. Декартом и
исторически является первым примером
прямого произведения. Поэтому часто
прямое произведение множеств называют
декартовым произведением.
Пример 8.
Даны множества
и
.
Тогда
есть множество обозначений клеток
шахматной доски.
Проекцией
вектора
на некоторую ось называется его компонента
(координата) с соответствующим порядковым
номером (обозначается прia).
Например, проекция точки плоскости на
1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).
Теорема. Мощность
произведения конечных множеств
равна произведению мощностей этих
множеств:
.
Следствие.
.