- •Введение в дискретный анализ
- •Глава 1. Введение в теорию множеств
- •Тема 1.1. Множества и операции над ними
- •1.1.1. Основные понятия
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Векторы и прямые произведения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.2. Отношения
- •1.2.1. Основные понятия и определения
- •1.2.2. Бинарные отношения. Основные определения
- •1.2.4. Эквивалентность и порядок
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.3. Соответствия и функции
- •1.3.1. Соответствия и их свойства
- •1.3.2. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств
- •1.3.3. Функции и отображения
- •1.3.4. Операции
- •1.3.5. Гомоморфизмы и изоморфизмы
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 2. Математическая логика
- •Тема 2.1. Логика высказываний
- •2.1.1. Логические связки
- •2.1.2. Основные схемы логически правильных рассуждений
- •2.2.2. Булева алгебра
- •2.2.3. Эквивалентные преобразования
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.3. Полнота и замкнутость
- •2.3.1. Функционально полные системы
- •2.3.2. Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •2.3.3. Замкнутые классы и монотонные функции
- •2.3.4. Теоремы о функциональной полноте
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.4. Нечеткая логика
- •2.4.1. Основные понятия теории нечетких множеств
- •2.4.2. Логические операции над нечеткими множествами
- •2.4.3. Свойства логических операций над нечеткими множествами
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.5. Нечеткие модели управления
- •2.5.1. Нечеткие операторы
- •2.5.2. Нечеткая и лингвистическая переменные
- •2.5.3. Нечеткий логический вывод
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.6. Логика предикатов
- •2.6.1. Предикаты. Основные понятия
- •2.6.2. Кванторы
- •2.6.3. Выполнимость и истинность
- •2.6.4. Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 3. Комбинаторика
- •Тема 3.1. Комбинаторные конфигурации
- •3.1.1. Принципы сложения и умножения
- •3.1.2. Перестановки
- •3.1.3. Размещения
- •3.1.4. Сочетания
- •3.2.2. Полиномиальная формула
- •3.2.3. Формула включений и исключений
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 4. Теория графов
- •Тема 4.1. Основные понятия и операции на графах
- •4.1.1. Основные понятия
- •4.1.2. Способы задания графов
- •4.1.3. Операции над частями графа. Графы и бинарные отношения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 4.2. Маршруты и деревья
- •4.2.1. Маршруты, пути, цепи, циклы
- •4.2.2. Дерево и лес
- •5.1.2. Способы задания автоматов
- •5.1.3. Взаимосвязь между моделями Мили и Мура
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 5.2. Детерминированные конечные автоматы
- •5.2.1.Основные понятия детерминированных конечных автоматов
- •5.2.2. Схема доказательства правильности конечного автомата
- •5.2.3. Произведение автоматов
- •5.3.2. Детерминизация нка
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
4.1.2. Способы задания графов
В общем виде задать граф - значит описать множества его вершин и ребер, а также отношение инцидентности. Для описания вершин и ребер достаточно их занумеровать. Пусть v1,v2,... ,vn - вершины графа G; е1,е2,... ,ет - ребра. Отношение инцидентности задается:
• матрицей инцидентности размера тхп: по вертикали и горизонтали указываются вершины и ребра соответственно, а на пересечении i-й вершины и j-го ребра в случае неориентированного графа проставляется 1, если они инцидентны, и 0 - в противном случае, т.е.
а в случае орграфа: -1, если вершина является началом ребра, 1 - если вершина является концом ребра, и 0 - если вершина и ребро не инцидентны; если некоторая вершина является для ребра и началом, и концом (т.е. ребро - петля), проставляется любое другое число, например 2,
списком ребер графа, представленным двумя столбцами: в левом перечисляются все ребра , а в правом инцидентные ему вершины vi,vj, для н-графа порядок вершин в строке произволен, для орграфа первым стоит номер начала ребра;
матрицей смежности | - квадратной матрицей размера п х п: по вертикали и горизонтали перечисляются все вершины , а на пересечении k-й и l-й вершин в случае н-графа проставляется число, равное числу ребер, соединяющих эти вершины; для орграфа равно числу ребер с началом в к-й вершине и концом в l-й.
Если два графа равны, то их матрицы совпадают. Если в графе поменять нумерацию вершин, матрицы (и список ребер) в общем случае изменяются, т.е. вид матриц и списка ребер зависит от нумерации вершин и ребер графа. Граф считается полностью заданным, если нумерация его вершин зафиксирована. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, являются изоморфными.
Пример 2.
Задать матрицами инцидентности и смежности, а также списком ребер графы , (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Н-граф G1 и орграф G2
Матрицы инцидентности графов и приведены в табл. 1. В матрице инцидентности в каждом столбце только два элемента, отличных от 0 ( или один, если ребро - петля).
Таблица 1. Матрица инцидентности графов и
|
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
1 |
-1 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
Список ребер орграфа приведен в табл. 2 для н–графа он аналогичен, однако последовательность указания вершин здесь безразлична. Матрицы смежности графов , даны в табл.3.
Таблица 3. |
|
|
Таблица 2. |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
Ребро |
Вершины |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
a |
12 |
2 |
2 |
0 |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
b |
21 |
3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
c |
13 |
4 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
d |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
44 |