34. Расчет моды и медианы в вариационном интервальном ряду распределения.

Мода и медиана в интервальных рядах определяются расчетным путем, то есть по следующим формулам :

Мо =

Эту формулу предложил Орженцкий Р.М.

- нижняя граница модального интервала

I – величина интервала

I= -

- верхняя граница модального интервала

- частота модального интервала

- частота интервала, предшествующего модальному

- частота интервала, посдедующего за модальным

- нижняя граница медианного интервала

I – величина интервального интервала

I= -

- верхняя граница медианного интервала

½ – порядковый номер медианы

- частота медианного интервала

– накопленные частоты( сумма частот) до медианного интервала

35. Понятие о семействе степенных средних. Правило мажорантности средних величин.

Степенная средняя – общая формула представления различных средних величин.

Простая взвешенная:

Взвешенная:

Откуда получаем:

Изменение показателя степени к приводит к определенному виду средней:

при к = +1 получаем среднюю арифметическую простую или взвешенную:

пр. вз.

при к = +2 получаем среднюю квадратическую простую или взвешенную:

пр.кв. вз. кв.

Средняя квадратическая широко применяется при вычислении показателей вариации.

при к = +3 получаем среднюю кубическую простую или взвешенную:

пр. куб. вз. куб.

при к = -1 получаем среднюю гармоническую простую или взвешенную:

пр. гар. вз. гар.

при к = 0 получаем среднюю геометрическую простую или взвешенную:

геом. или сокращенно: геом.

П - знак произведения

n – число вариантов.

Средняя геометрическая хорошо применяется в «рядах динамики» при исчислении среднегодовых темпов роста и прироста.

Мажорантность (от фран. большой) средних заключается в том, что если для одной и той же совокупности или вариационного ряда вычислить различные виды средних, то их численные значения будут отличаться друг от друга. При этом по своей величине они расположатся в определенном порядке. Порядок их расположения определяется показателем степени к в формуле степенной средней.

к- степень	-1	0	+1	+2	+3
вид средней	Хгар.< Хгеом. < Хариф. < Хквад. < Хкуб.

В статистике такое расположение средних называется правилом мажорантности. Из формулы видно: чем больше показатель степени к, тем больше величина средней. Разница между этими средними тем значительнее, чем больше колеблемость осредняемого признака. При небольшой колеблемости, эта разница малоощутима. Подробное выяснение общего условия мажорантности впервые было произведено известным ученым Боярским.

36. Соотношение средней, моды и медианы в вариационных рядах распределения.

Вариационные ряды , в которых частоты вариантов, равно отстоящих от

средних, равны между собой , называются симметричными.

Особенностью симметричных вариационных рядов является равенство этих трех важнейших характеристик , т.е. средней , Мо и Ме.

=Мо=Ме

Вариационные ряды, в которых расположение вариантов вокруг средней неодинаково, т.е. частоты по обе стороны от средней изменяются по- разному , называются асимметричными ( или скошенными)

Различают левостороннюю и правостороннюю асимметрии. При умеренно асимметричном расположении , моду можно определить иначе, по так называемой приближенной формуле

Мо= - 3( – Ме)

Таким образом, мода по этой формуле равна разности между средней величиной и утроенным значением разности между средней и медианы.