29. Свойства средней арифметической и их использование для упрощения расчётов средних величин.
Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими её сущность, и в ряде случаев эти свойства используются при её расчёте.
Сумма отклонений индивидуальных значений признака, т. е. вариант, от средней арифметической равна нулю.
Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты.
3. Если все осредняемые значения, т.е. варианты, увеличить или уменьшить на какое-то постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно увеличится или уменьшится на это же число.
Если все варианты значений признака увеличить или уменьшить в несколько раз, например в i раз, то средняя арифметическая также соответственно увеличится или уменьшится в i раз.
а)
б)
5. Если все частоты (f) увеличить или уменьшить, например в i раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.
При изменении частот средняя арифметическая не меняется.
Упрощения:
При вычислении средней можно частоты сокращать и взвешивание вариантов можно производить по сокращённым частотам.
Тогда
Упрощённый метод вычисления средней – это метод отсчёта от условного нуля или способ моментов.
,
-
момент 1-го порядка
30. Средняя гармоническая. Условия её применения.
Средняя гармоническая – величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака.
Средняя гармоническая простая (невзвешенная) вычисляется:
Х = n / ∑ 1/x
Средняя гармоническая простая (невзвешенная) редко применяется на практике.
Средняя гармоническая взвешенная применяется для вычисления средней такой совокупности, в которой отсутствует прямой показатель частоты, т.е. отсутствует количество единиц (f).
Она вычисляется:
Х= ∑М / (∑М /х )
M=xf f= M/x
X= M1+M2+M3+…+Mn / (М1/х1 + М2х2+М3х3+…+МnXn)
Если средняя арифметическая взвешенная применяется тогда, когда неизвестен числитель, то средняя арифметическая применяется тогда, когда отсутствует знаменатель и его необходимо рассчитать
Пример:
Имеются следующие данные о з/пл работников фирмы за апрель месяц:
№ группы |
з/пл, тыс руб |
Фонд з/пл, тыс руб |
1 |
17,0 |
340,0 |
2 |
18,0 |
900,0 |
3 |
19,0 |
570,0 |
|
х |
М |
Ср з/пл 1 раб = фонд з/пл / число работников =
(фонд з/пл) / (фонд з/пл / з/пл 1 работника)
Рсчёты произведём по формуле средней гармонической взвешенной:
Х= ∑М / (∑М /х ) = M1+M2+M3+…+Mn / (М1/х1 + М2х2+М3х3+…+МnXn) =
= 340,0/17,0 + 900,0/ 18,0 + 570,0/19,0 = 1810,0/100 = 18,1
Х = 18,1 тыс руб