3. Теорема Вариньона

для силы в плоскости

М омент силы относительно точки равен алгебраической сумме моментов проекций этой силы на координатные оси относительно той же точки.

На рис. 41 показано использование теоремы Вариньона для определения момента силы относительно точки А.

Рис. 41

Это правило дает возможность быстрее находить момент силы относительно любой точки через проекции заданной силы, в том случае, если линия действия силы не перпендикулярна оси и не параллельна ей.

По аналогии можно найти момент силы относительно центра в пространстве по формуле:

,

где - векторы моментов проекций на плоскость силы относительно координатных осей.

Для этого нужно знать момент силы относительно оси.

Задание.

1. Начертите прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. так, чтобы большая сторона лежала на горизонтали. К правому верхнему углу или вершине прямоугольника приложена сила величиной 100 Н. Угол между линией действия силы и вертикалью составляет 30⁰.

Найдите момент силы относительно остальных трех вершин прямоугольника. Начните решение по ходу часовой стрелки, т.е. первая вершина или точка будет являться правой нижней вершиной прямоугольника.

2. Начертите окружность радиусом 10 см. Определите момент касательной силы, приложенной к любой точке обода относительно центра окружности. Определите момент силы, которая лежит на нормали к любой точке обода окружности, относительно центра окружности.

4.4 Момент силы относительно оси

Чтобы найти момент силы относительно, например оси z , нужно найти проекцию этой силы на плоскость, которая перпендикулярна этой оси и проходящей через точку относительно которой находится момент силы относительно точки (см. рис. 42). Затем продолжить линию действия проекции силы и найти плечо h от точки О до линии действия проекции силы. Получить рычаг проекции силы относительно оси z, проходящей через точку О.

Рис. 42

М омент силы относительно оси равен произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную этой оси и кратчайшего расстояния от точки, проходящей через ось до линии действия проекции силы, взятое со знаком «+» или «-».

(1)

В этой формуле с правой стороны есть два множителя, если хотя бы один из множителей равен нулю, то ответ равен нулю. Рассмотрим эти частные случаи (см. рис. 43):

1. Момент силы относительно оси равен нулю если линия действия силы параллельна оси, т.е. =0

2. Момент силы относительно оси равен нулю если линия действия силы пересекает ось, т.е. h=0.

Рис. 43

Задание 1.

Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг вертикальной оси вращения, имеются опоры: подпятник А и подшипник В соответственно внизу и вверху оси z, так, чтобы ось имела заданное положение (см. рис. 44). Определите моменты реактивных сил этих опор А и В относительно оси z. Определите момент силы тяжести относительно оси z.

Е сли вы не можете найти, то постарайтесь разобраться в этой записи:

,

Они являются реакциями опоры А -подпятника и опоры В - подшипника, (точки А и В лежат на оси z). Отсюда линии действий реактивных сил пересекают ось z. Следовательно, моменты реактивных сил

относительно оси z

Рис. 44 равны нулю

.Что касается силы тяжести , то линия действия этой силы параллельна оси z. Следовательно, момент этой силы тяжести относительно оси z тоже равен нулю

Задание 2.

Самостоятельно найдите моменты сил , показанных на рис.45 относительно осей x, y, z.

Для выполнения этого задания вначале рассмотрим силу . Рассмотрим расположение заданной силы. Сила расположена в горизонтальной плоскости, разложим её на проекции , (см. рис. 46), используя правило параллелограмма.

Рис. 45

З атем нужно определить синус и косинус угла между осями х и у

, .

Определим момент силы относительно осей x, y, z:

Рис.46

3