4. Действия с силами

4.1 Проекции силы на оси

Сила, действующая на объект, по правилу параллелограмма может раскладываться на проекции и наоборот через проекции силы можно найти величину и направление силы.

Для определения проекции силы на координатные оси нужно выполнить действия: опустить перпендикуляры на оси с начала и конца вектора, как это показано на рис. 35, таким образом, находим «след» вектора на оси, на проекциях показано направление проекции. Затем мысленно эти проекции нужно перенести в начала вектора силы, тем самым вектор силы по правилу параллелограмма раскладываем на проекции.

На рис. 35 показана сила в плоскости 0ху, направление силы через угол . На рис. 35 есть формулы для вычисления проекций силы, модуль силы и направление силы через направляющие косинусы.

Рис. 35

Это можно объяснить. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Сторона АВ есть гипотенуза и результирующая вектора силы . Катет треугольника : АС есть проекция силы на ось х, т.е. , другой катет ВС есть проекция силы на ось у, т.е. . Для того, чтобы записать проекцию силы на ось надо смотреть на направление её, если направление вектора совпадает с направлением оси, то пишется знак «+» и наоборот. В данном случае обе проекции записываются со знаком «+». Второе, как использовать тригонометрическую функцию: ? Нужно видеть расположение заданного угла: между вектором силы и осью. На рис. 35 угол находится между вектором силы и осью х, значит этот угол ПРИлежит к оси х, следовательно, нужно писать Если угол находится против оси, в данном случае ПРОтив оси у, то нужно записывать . При этом координатные оси мысленно перенести в начало вектора силы. Тогда проекции силы на оси записываются, как показано на рис. 35. Величина силы находится по теореме Пифагора. Направление силы как вектора находится по направляющим косинусам.

Задано шесть сил, из них четыре силы расположены в плоскости в разных четвертях, а последние две силы являются частными случаями направления сил, они параллельны осям х и у соответственно. Рассмотрим (см. рис.37) вычисление алгебраической суммы проекций на координатные оси х и у.

Рис. 36

Из сказанного можно сделать вывод:

1. Проекция силы положительна, если направление её cориентировано с осью.

2. Если линия действия силы параллельна оси, то на эту ось она проектируется в полную величину.

3. Если проекция силы является точкой, то проекции нет, т.к. точка это тело размерами которого пренебрегаем.

4. В каких случаях используется синус угла и косинус угла при записи проекции?

Ответ: если угол находится против оси, от записывать синус угла; если угол прилежит к оси, то записывать косинус угла. При этом координатные оси мысленно параллельно переносятся в начало вектора силы.

Задание.

1. Самостоятельно придумать ситуацию расположение трех сил в пространстве.

2. Записать результирующую силу через её проекции

3. Найти модуль и направление результирующей силы.

4.2 Момент силы относительно точки

Рассмотрим момент силы относительно точки. На рис. 37 показана сила в пространстве, имеющее начало в точке А на расстоянии радиуса-вектора. Нужно найти момент силы относительно точки 0, начала координатной системы. Для этого проводим плоскость через радиус вектор и вектор силы, см на рис 37 заштрихованную плоскость. К этой плоскости из точки О, как точки относительно которой рассматривается момент силы относительно точки, проводим перпендикуляр, по которому будет направлен вектор момента силы относительно точки. Направление вектора момента находим по правилу буравчика (см. рис. 38).

Рис.37

Н а рис. 38 показан буравчик с правой резьбой (винт, или болт, или шпилька), который вращается против часовой стрелки при завинчивании. Вращаясь, буравчик поднимается вверх и если смотреть сверху на конец вектора-момента, то видно, что буравчик вращается против часовой стрелки.

Перейдем к рис. 37. Вращение вектора силы вокруг перпендикуляра, опущенного из точки 0 на плоскость, проходящую через радиус-вектор и вектор силы, имеет направление против часовой

стрелки. А это значит, что вектор момента

Рис. 38 силы направлен по перпендикуляру вверх

из точки О. Теперь найдем модуль силы относительно центра. Для этого посмотрим фрагмент заштрихованного треугольника (см. рис. 37, и рис. 39). В этом треугольнике найдем кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы (рис 39). Кратчайшим расстоянием является перпендикуляр опущенный из точки О до линии действия силы и называется плечом h. Начала вектора силы переносим в точку В и получаем рычаг, который поворачивается вокруг точки О против часовой стрелки для данного рисунка.

В ычислим векторный момент силы относительно точки (см. рис. 37), если известны координаты точки приложения силы в точке A(x.y.z).

Рис.39

:

(1)

(2)

(3)

,

, , - проекции векторного момента на соответствующие координатные оси.

Модуль векторного момента силы относительно точки равен

(4)

Величина момента силы относительно точки равна

(5)

(6)

Сила может быть расположена так, что вращение её происходит по часовой стрелке и наоборот против часовой стрелки. Поэтому механики договорились, что в статике момент имеет знак «+», если вращение происходит против часовой стрелки и наоборот, если вращение происходит по часовой стрелки, то записывается знак «-».

Задание.

Найдите алгебраическую сумму моментов сил, которые показаны на рис. 39. Если заданы силы , .

И з рис. 40 видно, линия действия пятой силы проходит через точку О, поэтому момент этой силы относительно точки О равен нулю, т.к. отсутствует плечо

Рис. 40

поскольку h₅=0. Запишем алгебраическую сумму моментов остальных сил относительно точки О, используя правило знаков моментов.

Если Вы затрудняетесь, то смотрите ответ: