- •1 . Элементар оқиғалар кеңістігі.
- •2. Оқиғалар және оқиғаларға амалдар қолдану. Оқиғаның салыстырмалы жиілігі, оның қасиеттері.
- •3. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.Ықтималдықтың қасиеттері.
- •5. Шарларды жәшіктере үлестіру. Максвел-Больцман, Бозе-Эйнштейн, және Ферма-Дирак статистикалары.
- •7. Гипергеометриялық үлестірім. Көп өлшемді гипергеометриялық үлестірім.
- •8. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары.Ықтималдықтың қасиеттері.
- •9. Жалпы ықтималдық кеңістігі
- •10. Үзіліссіздік аксиомалары және олардың саналымдылық аксиомаларына эквиваленттілігі.
- •11. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
- •12. Оқиғалардың тәуелсіздігі.Бернштейн мысалы.
- •13. Ықтималдықтарды қосу формуласы.Қолдану мысалдары.
- •14. Оқиғалардың толық тобы. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.
- •15. Бернулли схемасы. Бернулли формуласы. Ең ықтимал табыс саны.
- •16. Пуассонның жуықтау формуласы.
- •17. Муавр-Лапластың жергіліктік және интегралдық теоремалары.(дәлелдеу схемалары)
- •21.Дискретті кездейсоқ шама. Үлестірім функциясы. Қасиеттері. Мысалдар.
- •22.Үзіліссіз кездейсоқ шама. Үлестірім тығыздығы. Қасиеттері. Мысалдар.
- •23.Көп өлшемді кездейсоқ шама.Көп өлшемді үлестірім функциясы. Қасиеттері
- •25.Кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігі. Дискретті кездейсоқ шамалардың тәуелсіздік критериі
- •26.Кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігі. Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың тәуелсіздік критериі
- •27. Композиция формуласы. Қолдану мысалдары.
- •28.Математикалық күтім. Қасиеттері. Мысалдар.
- •10 Сызықтық қасиеттері.
- •20. Теріс еместік қасиеттері.
- •30. Ақырлылық қасиеттері.
- •29.Дисперсия. Қасиеттері. Мысалдар.
- •30.Ковариация. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері.
- •31.Чебышев теңсіздігі. Үлкен сандар заңы.
- •33.Иенсен теңсіздігі.
- •36.Сипаттамалық функция. Қарапайым қасиеттері. Қолдану мысалдары.
7. Гипергеометриялық үлестірім. Көп өлшемді гипергеометриялық үлестірім.
Гипергеометриялық үлестірім. Құтыда m қара, n − m ақ, барлығы n шар бар.
Құтыдан кездейсоқ түрде r шар алынған. ξ -осы алынған r шардың ішіндегі қара шарлардың саны.
Онда ξ - 0,1,2,…,min(m,r ) мəндерін қабылдайтын кездейсоқ шама.
Көп өлшемді гипергеометриялық үлестірім:
егер де бас жиынтық n1 – 1 түрлі (a1, … , an), n2 – 2 түрлі (b1, … , bn), r-ші түрлі (с1, … , сnr) элементтерінен тұратын болса, осы жиынтықтан алынған көлемі к – ға тең қайталанбайтын таңдаманың элементтерінің ішінде сәйкес дәл к1 – 1ші түрлі, ... , кr – ші түрлі элемент болу ықтималдығы мыны формуламен есептеледі:
Pn1, …, nr(k1, … , kr)=
8. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары.Ықтималдықтың қасиеттері.
Ықтималдықтар теориясы - ол кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін математикалық ғылым саласы. Оқиға жəне ықтималдық ұғымдары бұл теорияның негізі болып табылады. Бұл ұғымдарды енгізу үшін, əдетте, 1929 жылы академик А.Н. Колмогоров ұсынған ықтималдықтар теориясының теориялық-жиындық моделін, яғни ы_тималды_ ке_істігі деп аталатын (,, F, P) үштігін негізге алады, мұндағы:
= {w}- қарастырылып отырған кездейсоқ құбылыстың барлық (өзара сыйспайтын) элементар нəтижелерінің жиыныю
F -(-ның о_иғалар (кездейсо_ о_иғалар) деп аталатын барлық ішкі жиындарының жүйесі, басқаша айтқанда F δ -алгебра (сигма-алгебра), яғни мына шарттарды қанағаттан-дыратын жиындар жүйесі:
А1. F
А2. Егер AF болса, онда Aемес F
А3. Егер A1 , A2, A3 F болса, онда
Р - əрбір AF оқиғасы үшін анықталған ы_тималды_ (ы_тималды_ты_ функция) деп аталатын сандық функция; Ықтималдық келесі шарттарды (аксиомаларды) қанағаттан-дырады:
Р1. Кез келген AF оқиғасы үшін P(A)>=0 (теріс емес аны_талғанды_ _асиеті),
Р2. P(=) =1 (нормаланғанды_ _асиеті),
Р3. Кез келген A1 , A2, ..., An F, үшін
Бұл қасиет ықтималдықтың сигма-аддитивтілік (саналымдылы_) қасиеті деп аталады.
P(A) A - оқиғасының ы_тималдығы деп аталады.
Егер Р3 қасиеті ақырлы санды оқиғалар үшін орындалса, онда ықтималдықтың бұл қасиеті а_ырлы
аддитивтілік _асиеті деп аталады.
Егер А3 шарты а_ырлы санды оқиғалар үшін ғана орындалса, онда мұндай жиындар жүйесі F алгебра деп, ал (,F ,P) үштігі ке_ейтілген ы_тималды_ ке_істігі деп аталады. Қандай да бір ықтималдықтық есепті формалдау үшін есепке қатысты тəжірибені сəйкес (,F ) өлшенетін кеңістігімен сипаттау керек.
Айталық, =1,2 ,...дискретті элементар оқиғалар кеңістігінің əрбір элементар оқиғасына сəйкес P() саны қойылатын жəне ол P() 0, 1 (1) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда P() саны элементар оқиғасының ы_тималдығы деп
аталады да, A оқиғасының ықтималдығы былай анықталады: P( A)= (2)
Егер =1,2 ,...дискретті элементар оқиғалар кеңістігі, F= A: A , P (1.1) формуласымен анықталған ық-тималдық болса, онда (,F, P ) үштігі дискретті ы_тималды_ ке_істігі (егер
( |А| -А жиынының қуаты (элементтер саны)) болса а_ырлы ы_тималды_ ке_істігі) деп аталады.
-Р3 аксиомаларынан шығатын ықтималдықтың мынан-дай қасиеттеріне назар аудара кетейік:
1 P0, P 1PA, PA\BPAPAB,
A B болғанынан P( A) P( B ) болатыны шығады;
2 P(AU B) P(A) P(B) P(AB) , (3)
жалпы түрде:
Соңғы формулалар ы_тималды_тарды _осу формулалары деп аталады.
3.
4 P3(ықтималдықтың жоғарыдан !зіліссіздік қасиеті). Егер
болса, онда
5 P3(ықтималдықтың т_меннен !зіліссіздік қасиеті).Егер
болса, онда
6 P3(ықтималдықтың н_лдегі !зіліссіздік қасиеті).-Егер
, болса, онда
7 Егер P -ақырлы аддитивті болса жəне P3' не P3не P3қасиеттерін қанағаттандырса, онда P саналымды аддитивті, яғни Р3 қасиетін қанағаттандырады.
8 .