- •1 . Элементар оқиғалар кеңістігі.
- •2. Оқиғалар және оқиғаларға амалдар қолдану. Оқиғаның салыстырмалы жиілігі, оның қасиеттері.
- •3. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.Ықтималдықтың қасиеттері.
- •5. Шарларды жәшіктере үлестіру. Максвел-Больцман, Бозе-Эйнштейн, және Ферма-Дирак статистикалары.
- •7. Гипергеометриялық үлестірім. Көп өлшемді гипергеометриялық үлестірім.
- •8. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары.Ықтималдықтың қасиеттері.
- •9. Жалпы ықтималдық кеңістігі
- •10. Үзіліссіздік аксиомалары және олардың саналымдылық аксиомаларына эквиваленттілігі.
- •11. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
- •12. Оқиғалардың тәуелсіздігі.Бернштейн мысалы.
- •13. Ықтималдықтарды қосу формуласы.Қолдану мысалдары.
- •14. Оқиғалардың толық тобы. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.
- •15. Бернулли схемасы. Бернулли формуласы. Ең ықтимал табыс саны.
- •16. Пуассонның жуықтау формуласы.
- •17. Муавр-Лапластың жергіліктік және интегралдық теоремалары.(дәлелдеу схемалары)
- •21.Дискретті кездейсоқ шама. Үлестірім функциясы. Қасиеттері. Мысалдар.
- •22.Үзіліссіз кездейсоқ шама. Үлестірім тығыздығы. Қасиеттері. Мысалдар.
- •23.Көп өлшемді кездейсоқ шама.Көп өлшемді үлестірім функциясы. Қасиеттері
- •25.Кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігі. Дискретті кездейсоқ шамалардың тәуелсіздік критериі
- •26.Кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігі. Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың тәуелсіздік критериі
- •27. Композиция формуласы. Қолдану мысалдары.
- •28.Математикалық күтім. Қасиеттері. Мысалдар.
- •10 Сызықтық қасиеттері.
- •20. Теріс еместік қасиеттері.
- •30. Ақырлылық қасиеттері.
- •29.Дисперсия. Қасиеттері. Мысалдар.
- •30.Ковариация. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері.
- •31.Чебышев теңсіздігі. Үлкен сандар заңы.
- •33.Иенсен теңсіздігі.
- •36.Сипаттамалық функция. Қарапайым қасиеттері. Қолдану мысалдары.
22.Үзіліссіз кездейсоқ шама. Үлестірім тығыздығы. Қасиеттері. Мысалдар.
Кез келген нақты x R үшін x -тің функциясы ретінде анықталған : () xоқиғасының ықтималдығы PxP(−, x] кездейсоқ шамасының _лестірім (_лестіру) функциясы деп аталады
жəне ол F(x) (не F(x) ) арқылы белгіленеді:
F(x) = F(x) =P : () x= P−, x(3.2)
_лестірім функциясыны_ _асиеттері:
F1. X1 x2 болғанынан F( x1) F( x2) болатыны шығады (монотондылы_ _асиеті)
F2. F(x 0) F(x) (о_ жағынан _зіліссіздік _асиеті)
F3.
Егер кездейсоқ шамасы үшін f(x) 0 функциясы табылып, оның үлестірім функциясы
(3.5)
түрінде жазылатын болса (соңғы интегралды жалпы алғанда Лебег интегралы мағынасында түсіну керек),
онда f(x) функциясы кездейсоқ шамасының _лестірім (_лестіру) тығыздығы деп, ал кездейсоқ
шамасы абсолютті _зіліссіз (_лестірілген) кездейсо_ шама деп аталады. Абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама үшін P- ақиқат дерлік түрде жəне де кез келген B(R) үшін
(3.6)
Жеке жағдайда, əрине
Абсолютті _зіліссіз _лестірімдер
1. [a,b] аралығындағы бір_алыпты үлестірім (a<b):
2. Параметрлері a жəне болатын (-a , 0 ) нормаль (гаустік, _алыпты) үлестірім:
Мұндай қалыпты кездейсоқ шаманы қысқаша ~ N(a, ) түрінде жазатын боламыз. Параметрлері a =0,
=1 болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль _лестірім деп аталады.
3. Параметрі >0 болатын к#рсеткіштік үлестірім:
4. Параметрлері >0, >0 болатын гамма-_лестірім:
Əрине, егер >0, =1 болса, онда біз көрсеткіштік үлестірімді алған болар едік.
5. Параметрі b>0 болатын Коши _лестірімі
2-мысал. кездейсоқ шамасы үлестірім тығыздығы
, f(x) 0 (x 0) болатын
үзіліссіз кездейсоқ шама. []2 кездейсоқ шамасының үлестірімін (үлестірім заңын) табыңыз ([ a ]- a
санының бүтін бөлігі).
Шешуі. болғандықтан
k=0,1,2,...
23.Көп өлшемді кездейсоқ шама.Көп өлшемді үлестірім функциясы. Қасиеттері
Егер көп өлшемді =(1,2 ,...,n ) кездейсоқ шамасының қабылдайтын мəндерінің жиыны ақырлы не
саналымды жиын болса, онда көп өлшемді (n-өлшемді) дискретті кездейсо_ шама деп аталады. Мұндай
кездейсоқ шамалар үшін
ықтималдықтары
шарттарын қанағаттандырады.
Қарапайымдылық үшін n=2, n=3 болатын жағдайлардағы дискретті үлестірімдерге қысқаша тоқталайық. pij P{1 xi ,2 y j} дискретті кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірім ықтималдықтары
болса, онда
Егер pijk P{1 xi ,2 y j ,3 zk} болса, онда
функциясы əрқашан анықталғандығы шығады. Бұл функция кездейсо_ векторыны_ _лестірім функциясы
немесе 1,2 ,...,n кездейсо_ шамаларыны_ бірлескен _лестірім функциясы, немесе n-өлшемді (кп
лшемді) _лестірім функциясы деп аталады.
Көп өлшемді үлестірім функциясының осы қасиеті оның теріс емес аны_талғанды_ қасиеті деп
аталады. Анықтамадан, егер функциясын-дағы xi1, xi2,..., xik аргументтерін -ке
ұмтылдырсақ, онда кездейсоқ векторының i1,i2 ,...,ik лерден басқа компонен-таларынан тұратын
вектордың үлестірім функциясын (маргиналды _лестірімін) алатынымыз шығады. Мəселен
24.Кездейсоқ шамалардың fункциялары.
Егер көп өлшемді =(1,2 ,...,n ) кездейсоқ шамасының қабылдайтын мəндерінің жиыны ақырлы не
саналымды жиын болса, онда көп өлшемді (n-өлшемді) дискретті кездейсо_ шама деп аталады. Мұндай
кездейсоқ шамалар үшін
ықтималдықтары
шарттарын қанағаттандырады.
Қарапайымдылық үшін n=2, n=3 болатын жағдайлардағы дискретті үлестірімдерге қысқаша тоқталайық. pij P{1 xi ,2 y j} дискретті кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірім ықтималдықтары
болса, онда
Егер pijk P{1 xi ,2 y j ,3 zk} болса, онда
функциясы əрқашан анықталғандығы шығады. Бұл функция кездейсо_ векторыны_ _лестірім функциясы
немесе 1,2 ,...,n кездейсо_ шамаларыны_ бірлескен _лестірім функциясы, немесе n-өлшемді (кп
лшемді) _лестірім функциясы деп аталады.
Көп өлшемді үлестірім функциясының осы қасиеті оның теріс емес аны_талғанды_ қасиеті деп
аталады. Анықтамадан, егер функциясын-дағы xi1, xi2,..., xik аргументтерін -ке
ұмтылдырсақ, онда кездейсоқ векторының i1,i2 ,...,ik лерден басқа компонен-таларынан тұратын
вектордың үлестірім функциясын (маргиналды _лестірімін) алатынымыз шығады. Мəселен