29.Дисперсия. Қасиеттері. Мысалдар.

M(ξ )k = Mξ (ξ −1)⋅ ...⋅(ξ − k +1) математикалық күтімі k −ші ретті факториалдық моменті деп

аталады. Екінші ретті орталық момент дисперсия деп аталады да, Dξ арқылы белгіленеді. Сонымен

Dξ = M(ξ −Mξ )² (3.36)

σ = sqrt(Dξ) шамасы орташа квадраттық ауытқу деп аталады.

(3.30)-(3.31) формулалар дискретті жəне абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шамалардың

дисперсияларын сəйкес мына формулалар арқылы есептеуге болатынын көрсетеді:

Дисперсияның бірнеше қарапайым да маңызды қасиеттеріне назар аудара кетейік:

с - тұрақты болса D(c) = 0; D(cξ ) = c 2Dξ ;

Dξ = 0 болса, онда P{ξ = Mξ }= 1 , яғни ξ = Mξ (а.д) жəне керісінше; Əрқашан Dξ ≥ 0 ;

Дисперсияны мына формула арқылы да есептеуге болады:

Dξ = Mξ² – (Mξ)² = . (3.37) Кез келген ξ ,η кездейсоқ шамалары үшін D(ξ ±η) = Dξ + Dη ± 2 cov(ξ ,η),

Мұндағы cov(ξ ,η) = M(ξ −Mξ )(η −Mη). (3.38) cov(ξ ,η) ξ жəне η кездейсоқ шамаларының ковариациясы деп аталады.

ξ ~ Bі(n;p) үшін дисперсияны тікелей есептеу мына қосындыны табуды қажет еткен болар еді:

Берілген жағдайда бізге Dξ = Mξ (ξ −1) + Mξ − (Mξ )2 формуласын қолданған тиімді. Онда (q=1-p деп алсақ):

Dξ = n(n −1) p² + np − (np)² = np(1− p) = npq .

ξ ~ П(λ ) үшін Mξ =λ , Dξ = λ² +λ –λ² = λ

Егер ξ параметрі p-ға тең геометриялық кездейсоқ шама болса, онда Mξ =1/p ал

Гипергеометриялық үлестірім. Құтыда m қара, n − m ақ, барлығы n шар бар.

Құтыдан кездейсоқ түрде r шар алынған. ξ -осы алынған r шардың ішіндегі қара шарлардың саны.

Онда ξ - 0,1,2,…,min(m,r ) мəндерін қабылдайтын кездейсоқ шама.

Қосынды ішіндегі

түрінде жазып, сəйкес қысқартуларды орындасақ мынаны

аламыз: Енді

Μξ (ξ −1) есептелік:

a,bаралығында бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шамасы үшін

Параметрі -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін есептеулер

себебі

30.Ковариация. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері.

Кез келген ξ ,η кездейсоқ шамалары үшін

D(ξ ±η) = Dξ + Dη ± 2 cov(ξ ,η), мұндағы

cov(ξ ,η) = M(ξ −Mξ )(η −Mη). (3.38)

cov(ξ ,η) ξ жəне η кездейсоқ шамаларының ковариациясы деп аталады. Ковариацияны былай да есептеуге болады:

cov(ξ ,η) = Mξη −Mξ *Mη . (3.38′ )

Егер cov(ξ ,η) = 0 болса, ξ ,η кездейсоқ шамалары корреляцияланбаған деп аталады. Тəуелсіз кездейсоқ шамалар əрқашан корреляцияланбаған. Кері тұжырым үнемі дұрыс бола бермейді. Dξ > 0, Dη > 0 үшін анықталған мына шама (3.39)

ξ жəне η кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп аталады. Əрқашан ρ (ξ ,η) ≤ 1 жəне де корреляцияланбаған кездейсоқ шамалар үшін ρ (ξ ,η) = 0 ; ал ξ мен η бірге тең

ықтималдықпен сызықты байланысты, яғни α ≠ 0, β тұрақтылары табылып P{ξ =α η + β }= 1 болса, ρ = 1 жəне керісінше ρ = 1 болғанынан ξ мен η а.д түрде (бірге тең ықтималдықпен) сызықты байланысты болатындығы шығады Тəуелсіз ξ1,ξ 2 ,...ξ n кездейсоқ шамалары үшін

Жалпы жағдайда

(3.40)

Элементтері σ ij = cov(ξ i ,ξ j ) сандарынан тұратын

матрицасы ξ =(ξ1,ξ 2 ,...,ξ n ) векторының ковариациялық матрицасы деп аталады, оны көбіне cov(ξ ,ξ ) арқылы да белгілейді. Кез келген c1, c2 ,..., cn тұрақтылары үшін

болғандығынан V = cov(ξ ,ξ ) ковариациялық матрицасының теріс емес анықталған матрица болатындығын байқаймыз.

ξ =(ξ1,ξ 2 ,...,ξ n ) кездейсоқ векторының математикалық күтімі деп Mξ =(Mξ1,Mξ 2 ,...,Mξ n ) векторын, ал Σ =|| ξ ij|| кездейсоқ матрицасының математикалық күтімі деп M Σ =|| Mξ ij|| матрицасын айтамыз. Бұдан ковариациялық матрица

V = cov(ξ ,ξ ) = M(ξ −Mξ )* (ξ −Mξ )

қатынасымен анықталатындығы шығады (*-транспорттау (төңкеру) операциясы).