28.Математикалық күтім. Қасиеттері. Мысалдар.

(Ω ,F,P ) ыктималдық кеңістігінде анықталған ξ =ξ (ω) кездейсоқ шамасының

математикалық күтімі (орта мəні) ұғымы алдымен қарапайым, сосын теріс емес, ақырында кез

келген кездейсоқ шама үшін біртіндеп былай анықталады:

І. Қарапайым, яғни мына түрде жазылатын

мұндағы A i∈ F, Ai Aj = ∅ (i ≠ j)

шамасы үшін оның математикалық күтімі Mξ шамасын

(3.22)

қатынасы арқылы анықтаймыз.

ІІ. Кез келген теріс емес ξ (ω) кездейсоқ шамасы үшін оның математикалық күтімін мынандай шек түрінде анықтаймыз:

(3.23)

мұндағы ξ n -қарапайым, 0 ≤ξ n (ω) ↑ξ (ω), яғни ξ n кездейсоқ шамалары

0 ≤ξ n (ω ) ≤ξ n+1(ω) , -шартын қана-ғаттандыратын қарапайым кездейсоқ шамалар тізбегі.

10 Сызықтық қасиеттері.

Mξ ,Mη жəне Mξ + Mη бар болсын жəне c-тұрақты шама болсын. Онда

M(ξ +η) = Mξ + Mη; M(cξ ) = cMξ .

20. Теріс еместік қасиеттері.

Егер ξ ≥ 0 болса, онда Mξ ≥ 0 ;

Егер Mξ ,Mη бар болса жəне ξ ≥η болса, онда Mξ ≥ Mη .

30. Ақырлылық қасиеттері.

Егер Mξ < ∞ болса, онда Mξ < ∞ жəне керісінше;

Егер ξ ≤η жəне Mη < ∞ болса, онда Mξ < ∞ ;

Егер Mξ < ∞ , Mη < ∞ болса, онда M(ξ +η) < ∞

Мультипликативтік қасиеті

Егер ξ жəне η тəуелсіз кездейсоқ шамалар жəне Mξ < ∞ Mη < ∞ болса, онда Mξη < ∞ жəне Mξη = Mξ ⋅Mη . (3.25)

Ақиқат дерлік қасиеттері

Егер қандай да бір қасиет үшін P( N)=0 болатын N∈F жиыны (оқиғасы) табылса жəне де бұл қасиет барлық ω ∈ N = Ω \ N нүктелері үшін орындалса, онда бұл қасиет " P –ақиқат дерлік" ( P (а.д), (" P -барлық жерде дерлік" ( P (б.ж.д), "ақиқат дерлік" (а.д), "бірге тең ықтималдықпен")

орындалады дейді. Мəселен, P{ω : ξ (ω) = 0}= 1 болса, əдетте 0 а.д ξ = немесе ξ = 0 (а.д) не ξ = 0 (P − а.д), немесе ξ = 0 (б.ж.д) деп жазады.

Егер ξ = 0(а.д) болса, онда Mξ = 0 ;

Егер ξ ≥ 0(а.д) болса, онда Mξ ≥ 0 ;

Егер ξ =η(а.д) жəне Mξ < ∞ болса, онда Mη < ∞ жəне Mξ = Mη ;

Егер Mξ < ∞ , Mη < ∞ жəне кез келген A∈F үшін M(ξI A ) ≤ M(ηI A ) болса, онда ξ ≤η(а.д);

Егер ξ ≥ 0, Mξ = 0 болса, онда ξ = 0(а.д);

Егер A∈F , P(A) = 0 болса, онда M(ξI A ) = 0.

Монотондылық қасиеттері

Теорема. (Монотонды жинақталу туралы теорема). Егер 0 ≤ξ n ↑ξ болса, онда

Салдар. Кез келген ξ n ≥ 0 кездейсоқ шамалары үшін

Теорема. (Лебегтің мажорлы жинақталу туралы теоремасы).Егер

жəне ξ n ≤η, Mη < ∞ болса, онда

Монотондылық қасиеттерін Лебег интегралы таңбасының астында шекке көшу қасиеттері деп

атауға болатыны интегралдың анықтамасынан көрініп тұр.

Математикалық күтімді есептеу формулалары

кездейсоқ шамасының математикалық күтімін мына Лебег-Стильтес интегралы арқылы есептеуге болады:

(3.26)

Егер абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама болса жəне

болса, мұндағы f(x) кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы, онда

3.29

Егер кездейсоқ шама, g g(x) -борелдік функция болса, онда =g() кездейсоқ шамасының математикалық күтімі:

дискретті кездейсоқ шамасы үшін

(3.30) абсолютті зіліссіз кездейсоқ шамасы үшін

(3.31) Жалпы жағдайда кездейсоқ шаманың функциясының математикалық күтімін мына Риман-Стильтес

интегралы ретінде жазуға болады:

(3.32)

(3.32) формула дұрыс болу үшін интегралдың абсолютті жинақталуы қажет.

а) ξ ~ Bi(n, p), яғни ξ параметрлері n жəне p болатын биномдық кездейсоқ шама

болсын. Онда

болғандықтан

ə) ξ ~П(λ ) , яғни ξ − параметрі λ − ға тең пуассондық кездейсоқ шама. Онда монотондылық

қасиеттің салдары бойынша

б) ξ параметрі p-ға тең геометриялық кездейсоқ шама болсын. Онда жоғарыдағы ə) жағдайындағыдай:

1-есеп. Бір_алыпты лестірілген, к_рсеткіштік жəне нормаль кездейсоқ шамалардың математикалық

күтімдері мен дисперсияларын есептелік.

Шешуі. Егер a, b( a b ) аралығында бірқалыпты үлестірілген болса, онда (3.29) формула бойынша

Параметрі -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін

Егер

болса, онда

алдыңғы интегралда x a y ауыстыруын жасадық. Енді соңғы интегралды екі интегралдың қосындысы ретінде жазсақ, онда оның алғашқысы нөлге тең (себебі интеграл астындағы функциясы тақ функция), ал екіншісі a ға тең, өйткені белгілі Пуассон интегралы бойынша

Сонымен, болса, онда a M,