31.Чебышев теңсіздігі. Үлкен сандар заңы.

Чебышев теңсіздігі Егер ξ ≥ 0, Mξ < ∞ болса, онда кез келген ε > 0 саны үшін егер ξ Mξ 2 < ∞ болатын кездейсоқ шама болса, онда кез келген ε > 0 үшін

Үлкен сандар заңы- кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасының олардың

математикалық күтімдерінің арифметикалық ортасына ықтималдық бойынша жинақталуы.

32. Коши-Буняковский теңсіздігі.

Коши-Буняковский теңсіздігі Егер ξ ,η кездейсоқ шамалары үшін Mξ²< ∞, Mη ² < ∞ болса, онда M |ξη |< ∞ жəне

33.Иенсен теңсіздігі.

ξ кездейсоқ шама, M |ξ |< ∞ , ал g = g(x) төменге ойыс борелдік функция

болсын. Егер Mg(ξ ) бар болса жəне Mξ шамасы g(x) функциясының анықталу облысында жатса, онда

34. Ляпунов теңсіздігі. Салдары.

Кез келген 0 <α < β сандары үшін

Бұл теңсіздіктен егер кездейсоқ шаманың қандай да бір n − ретті моменті ақырлы болса, онда оның одан төменгі барлық ретті, яғни 1,2,.., n −1 ретті моменттері де ақырлы болатындығы шығатынын байқау қиын емес.

35.Туындатқыш функция. Қарапайым қасиеттері. Үзіліссіздік теоремасы. Теріс емес бүтін мəндер қабылдайтын, яғни б_тін мəнді кездейсоқ шамасының туындат_ыш функциясын келесі математикалық күтім ретінде анықтайды: (14.1)

Бұдан туындатқыш функцияның кездейсоқ шама-сының үлестірім заңы

арқылы былай анықталатынын көреміз:

(4.2) Соңғы қатар s 1 үшін абсолютті жинақталатын жəне

(4.3) болғандықтан (4.2)-(4.3) қатынастары pn үлестірім заңдары мен туындатқыш функциялар арасында

бірмəнді сəйкестік тағайындайды. Сонымен бірге 11 жəне s 1 үшін s1 болатындығына да

назар аудара кетелік.

Берілген p1 , p2 ,K, pn ықтималдықтарына қатысты мынадай шарттар орындалсын делік: (4.10) Онда Ары қарай (4.8) шарттардан

мұндағы 0 .

Сонымен n кездейсоқ шамасының (“табыс” сыны-ның) туындатқыш функциясы параметрі -ға тең

пуассон-дық кездейсоқ шаманың туындатқыш функциясына ұмты-лады. Демек, үзіліссіздік теоремасы

бойынша біз шектік үлестірім пуассондық үлестірім болады деп тұжырымдай аламыз.

Егер кездейсоқ шама дискретті кездейсо_ шама болса, онда

Егер кездейсоқ шама (абсолютті) _зіліссіз кездейсо_ шама болатын болса, онда

Егер ~ Bin; pболса, онда

Егер ~ болса, онда

Егерпараметрі p -ға тең геометриялық кездейсоқ шама болса, онда

Бүтін мəнді жəне тəуелсіз 1,2 ,...,n кездейсоқ шамалары үшін, математикалық күтімнің

мультипликативтік қасиетін жəне тəуелсіз кездейсоқ шамалардың функциялары да тəуелсіз кездейсоқ

шамалар болатынын пайдаланып

(4.6) қасиетін аламыз.

Бұл соңғы қасиет туындатқыш функцияның мультиплика-тивтік _асиеті деп аталады. (4.7)-формуламен анықталған c{n} тізбегі a {n} жəне b{n} тізбектерінің _йірткісі не композициясы деп аталады жəне ол қысқаша былай белгіленеді:

c{n} a{n} * b{n} .

Үйірткі операциясы коммутативті жəне ассоциативті болатынын көрсету қиын емес.

Егер 1,2 ,...n кездейсоқ шамалары бірдей үлесті-рілген жəне pn Pi nболса, онда

Sm 1 2 ...m кездейсоқ шамасының үлестірім заңы

үйірткісі болады.