Екзаменаційний білет № 8

8.1Пряма та обернена крокова регресія.

y(k) = k = 1, …, N;

1. = { 1, 2, …, p }; = { } _i = 1; ; M = 0;

2. , i , = I \ { 0, i }

3. = arg

4. 

+ : - регресор не включаєм.

If M==1 then Stop.

Else M=1; If ==1 then stop.

== 1 then stop.

• : - регресор включаєм. M=0;

= \ { }; = U { }; = + 1;

If ==2 then go to line 2 Else next;

1. , i \ { };

2. = arg ;

8.2Оптимальнi чистi стратегiї у матричнiй грi. Теорема про мінімакс.

Матричну гру визначимо наступними правилами. Грають два гравці I₁ та I₂. Перший з них вибирає число i, , другий - число j, . Вибір гравцями чисел відбувається одночасно і незалежно один від одного. Перший гравець платить другому суму c_ij, що визначається умовами конкретної гри (якщо c_ij>0, то 1-й гравець платить другому, якщо c_ij<0, то навпаки, 2-й - 1-му). Величини c_ij відомі кожному з гравців. Потрібно вказати найкращий вибір для кожного гравця.

Розглянемо матрицю

і назвемо її платіжною матрицею чи матрицею виграшів 2-го гравця. Відповідно, вибір числа i 1-м гравцем можна вважати за вибір i-го рядка матриці С, а вибір числа j 2-м гравцем - за вибір j-го стовпчика матриці С.

Назвемо змішаною стратегією гравця I₁ вектор-рядок , , а змішаною стратегією гравця I₂ - вектор-стовпчик , . Величини трактуються як ймовірності, з якими гравці I₁ та I₂ вибирають відповідно i-й рядок та j-й стовбчик матриці С.

Якщо для деякої стратегії виконується , а інші , то ця стратегія називається і-ю чистою стратегією гравця I₁ . Аналогічно визначається j-та чиста стратегія гравця I₂.

Роглянемо матричну гру двох осіб з платіжною матрицею , з точки зору гравця I₂. Він отримує від 1-го гравця що найменше . Так як другий гравець хоче зробити виграш максимальним і може вибрати стовбчик матриці С довільно, він обирає j таким, яке максимізує . При цьому гарантований виграш 2-го гравця (нижня ціна гри) складає

Аналогічним чином можна розглянути цю ж гру з точки зору гравця I₁. При цьому 2-й гравець отримає що найбільше

Величина є верхньою ціною гри.

Якщо

1) або (1)

якщо існують такі числа i^*, j*, що в співвідношенні (1) виконується , то вони називаються оптимальними рішеннями гравців I₁ та I₂ відповідно, то v - ціна гри, а сама гра допускає рішення в чистих стратегіях.

Вектори

називають оптимальними чистими стратегіями гравців I₁ та I₂ відповідно.

Теорема. Матрична гра двох осіб з платіжною матрицею , розв’язується в чистих стратегіях (має місце співвідношення (1)) тоді і тільки тоді, коли матриця С має сідлову точку. При цьому, якщо (i^*,j^*) - сідлова точка С, то ціна гри .

Нагадаємо, що (i^*,j^*) - сідлова точка матриці , , якщо для всіх вказаних і та j

Теорема про мінімакс. Довільна матрична гра має розв’язок в змішаних стратегіях.

Екзаменаційний білет № 9

1. Задача коваріаційного аналізу та її розв’язання.

Треба побудувати модель залежності кількісної змінної від як від якісної так і від кількісної.

Специфіка постановки задачі

- вектор незалежних якісних змінних, - вектор кількісних змінних, - залежна скалярна кількісна змінна.

На характеристику впливають як якісні так і кількісні змінні.

Нехай - спостереження над .

Тоді модель класичного коваріаційного аналізу має вигляд :

, (3)

та - помилки моделі.

Перепишемо модель матричному вигляді :

Позначимо :

, , , , ,

Тоді модель: (4)

Для знаходження оцінок параметрів моделі (4) використовується покроковий метод найменших квадратів.

Основні припущення для (4):

1)

2) стовпчики матриці не залежать від умов експерименту.

3) вважаємо, що лінійні обмеження враховані, тобто , (4’)

4) Немає обмежень на та .

1), 2), 3), 4) (4)

Для розв’язку задачі кореляційного аналізу, враховуючи структуру моделі (4)

використовують покроковий метод найменших квадратів: