1.2 Основна теорема про подiльність многочленiв.

Позначимо через с мн-ну компл. чисел. Підмножина наз. Числовим полем, якщо містить одиницю та замкнена відносно додавання, віднімання, множення та ділення на числа відмінні від нуля.Замкненість підмін. Якоїсь операції, наприклад, додаанння означає, що застосувати цю операцію до елементарної підмножини ми одерж елемент..Кільце многочл над полем F наз сукупність усіх многочленів від однієї змінної х з коеф , що належить полю F

Зафіксуємо числове поле F. Візьмемо змінну х і позначимо F[x] множину усіх многочленів з коефіцієнтами із поля F. F[x] - кільце многочленів над полем F: f₁,f₂F[x]  f₁-f₂F[x], f₁+f₂F[x], f₁*f₂F[x].

О. Р(х) ненульового степеню з кільця F[x] наз. незвідним, якщо з того,що Р(х)=f₁(x)f₂(x), де f₁(x), f₂(x)F[x] слідує, що або степінь f₁(x)=0 або степінь f₂(x)=0.

О. Р₁ (х) і Р₂(х) - асоційовані , якщо Р₁(х)Р₂(х)  Р₂(х)=P₁(x)*f(x) і Р1(х)const, f(x)=const, тобто степінь f(x) =0 .

Л. Якщо незвідний многочлен р(х) f(х)g(х), то р(х)f(х) або р(х)g(х)

Д. Якщо р(х) не g(x), то вони мають бути взаємнопростими. За наслідком з теореми про НСД: для взаємно простих g(x), p(x) існують многочлени a(x), b(x): 1=a(x)p(x)+b(x)g(x). Помножимо співвідношення на f(x): f(x)=a(x)f(x)p(x)+b(x)(f(x)g(x)). Оскільки 1-ий доданок ділиться на р(х), 2-ий ділиться на р(х) за умовою, то звідси р(х)f(x).

Т. Кожен многочлен f(x) степені >0 , f(x)F[x] можна розкласти у добуток незвідних многочленів. Таке розкладання однозначне з точністю до порядку множників та констант.

Д. Доведемо існування розкладу:

Розглянемо f(x). Якщо він незвідний, то розкладати не треба. Інакше, можна розкласти на добуток многочленів меншого степеню f(x)=f₁(x)f₂(x). Якщо вони незвідні, то вже маємо розкладання. Ті, які є звідними розкладаємо в добуток многочленів нижчого степеню. На деякому кроці знайдемо f(x)=p₁(x)...p_k(x).

Це саме можна зробити за допомогою індукції. Для многочленів 1-го степеня це очевидно. Припустимо, що довели для всіх многочленів степеня  n-1. Многочлен степеня n можна розкласти на многочлени степеня n-1 та 1, для яких розкладання на незвідні вже доведене.

Доведемо єдиність розкладу.

Припустимо, що існує ще один розклад:

p₁(x)p₂(x)...p_k(x)=q₁(x)q₂(x)...q_t(x), kt і ці розклади можуть відрізнятися порядком співмножників та констант. Беремо незвідний p₁(x)q₁(x)...q_t(x), тоді за лемою: p₁(x) один із співмножників q. Змінивши порядок можна вважати, що p₁(x) q1(x), вони - асоційовані, тобто q₁(x)=₁p₁(x).

Скоротимо на p₁(x): p₂(x)...p_k(x)=₁q₂(x)...q_t(x)

Ті ж міркування дають:

1=₁..._kq_k+1...q_t, але це не можливо, так як kt; отже q_i=_ip_i, (i=1,...,k)

Екзаменаційний білет № 2

2.1. Властивостi неперервної функцiї на компактi.

Множина KR називається компактною в собі, або компактом, якщо з будь-якої послідовності (x_n)K можна виділити підпослідовність (x_nk), збіжну до деякої точки x₀K.

Теорема 1.(Критерій компакту)

Множина KR є компактом  коли вона одночасно замкнена і обмежена.

 Необх. Обмеженість слідує з теореми обмеженість компакту(якщо - компакт, то це обмежена множина).Замкненість від супротивного: - не замкнена, - точка дотику , (з означення точки дотику). Будь-яка підпослідовність теж , тому вилучити підпослідовність, що збігається до елемента з неможливо.

Дост. Розгл. послід. точок з , - обмежена (бо X- обмежена), тоді з неї можна виділити збіжну підпослідовність. - точка дотику (з замкненості), тому - компакт. 

Теорема 2. (неперервний образ компакту)

Нехай f:RR неперервна на D_f функція і D_f - компакт. Тоді множина E_f - компакт.

Розглянемо з того, що - компакт , з неперервності (фактично) . 

Теорема 3. (Вейєрштрасса)

Нехай f:RR неперервна на компакті D_f функція. Тоді вона має найбільше та найменьше значення.

 з теореми про неперервний образ компакту - компакт, з наслідка про найб і найм значення компакту (якщо X компакт, то він має найб і найм значення) має найб і найм значення. 

Теорема 4. (Коші)

Нехай f:[a,b]R неперервна на Df, і на кінцях проміжку [a,b] приймає значення різних знаків, тобто f(a)*f(b)<0 тоді c(a,b): f(c)=0

від супротивного,нехай f або додатня, або від’ємна, тому . В цьому околі функція не змінює знака. Об’єднання буде покриттям компакту [a,b] . З леми Бореля-Лебега слідує, що можна виділити скінчене під покриття , але інтервали перетинаються і їх скінчена кількість, функція в інтервалі має один знак, тому і на кінці того ж знаку. 

Теорема 5. (Коші) Нехай функція [a,b]-^fR неперервна на D_f і приймає в точках a і b різні значення A і B. Тоді для довільного числа С між A i B  c(a,b): f(c)=C.

Виберемо довільне C між A і B. Позначимо . (в деякій точці) 

2.2. Жордановi нормальнi форми матриць.

Жорданова нормальна форма матриць.

Хай , .Поняття Жорданової клітини: .

Приклад: ,

Що означає , що матр. має жорданову норм. форму :

Одже Жордановою наз матриця утворена з клітин Жордана, розташованих вздовж головної діагоналі, а решта елем цієї матр – 0.

Поле наз алгебраїчно замкненим якщо кожен многочл з коеф в цьому полі – корінь.За основною теор алгебри поле комплексних чисел алгебраїчно замкнене. Позначимо через С мн комплексних чисел. Підмін F наз числовим полем, якщо містить 1 та F замкнена відносно додавання, віднім, множ та ділення на числа відмінні від 0. Замкненість підмін відносно якоїсь операції, напр. Додавання, означає, що застосувати цю операцію до елементної підмін, ми одержимо елемент. (Поле раціональних чисел це найменше числове поле).Кільце многочл над полем F наз сукупність усіх многочленів від однієї змінної х з коеф , що належить полю F .

Теор Жордана Нехай F алгебраїчне замкнене поле , А квадратна матр, елементи якої належать цьому полі. Тоді матр А подібна до деякої Жорданової матр, тобто знайдеться така не вироджена матр: , де В має жорданову нормальну форму.

Д: Для нього деякі озн.:

Нехай L лін простір над полем F. Лін оператор на нільпотентним(потенційно нульовим), якщо знайдеться таке натур число т, що оператор тотожньо нульовий(нуль оператор всі вектори відображає в нуль вертор).Найменше число т для якого викон це співвідношення наз показником нільпотентності. Квадратна матр А наз нільпотентною якщо знайдеться таке натур число т, що =нуль матриці. Найменше число т для якого викон це співвідношення наз показником нільпотентності матриці.

Визначник нільпотентної матр =0. Але обернене не вірно.

Якщо простір L скінч вим, то лін опер А нільпотент тоді і тільки тоді, коли, його матр в базисі нільпотент.