Екзаменаційний білет № 5

1. Числовi ряди. Функцiональнi ряди. Ознаки збiжностi.

Нехай задано послідовність {x_n} дійсних чисел. Числовим рядом (1) називається послідовність чисел {S_n}={ }. Числа x_n та S_n називаються відповідно n-м членом та n-ю частковою сумою ряду. Границя послідовності часткових сум ряду, якщо вона існує, називається сумою ряду і позначається символом . Ряд із скінченною сумою називається збіжним. Не збіжний ряд називається розбіжним.

Т1. (Необхідна ознака збіжності ряду). Якщо ряд (1) збігається, то lim_nx_n=0, тобто посл-ть членів збіжного числового ряду збігається до 0.

Т2. (Критерій Коші). Ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, коли    n₀()єN: n  n₀ p  S_n+p-S_n= x_i < .

Тепер розглянемо декілька достатніх ознак збіжності знакосталих рядів x_n, тобто рядів, у яких n x_n>0.

T3. Для довільного рєN твердження (ряд збігається) і (ряд збігається) еквівалентні.

Т4. Ряд утворений з ряду шляхом заміни скінченого числа членів останнім збігається коли збігається .

T5. 1)Нехай збігається тоді  d є R збігається ; 2) Нехай і збігаються тоді збігається .

Т7. Числовий ряд з невід’ємними членами ( , а_k>=0 kєN) збігається коли посл-ть його часткових сум обмежена зверху.

Т8. (Ознака порівняння). Якщо є два ряда x_n, y_n i nєN 0x_n 0y_n:

1) Нехай x_n y_n n>=n₀ тоді якщо y_n збігається => то ряд x_n збігається; 2) Із розбіжності ряду x_n випливає розбіжність ряду y_n.

2) Нехай  lim(x_n /y_n)=Lє[0,+] при n, y_n>0 n>=n₀. Тоді при L<+ i y_n – збігається => x_n збігається; при L>0 якщо y_n розбігається => x_n розбігається.

3) Нехай викон. x_k+1/x_k=<y_k+1/y_k k>=k₀ при цьому x_k>0,y_k>0 тоді якщо y_n збігається=>x_n збіг-ться; якщо x_n розбігається => y_n розбігається.

(скрізь сума від n=1 до нескінченності)

Т9. (Ознака порівняння із степеневим). Якщо при n x_n=O(1/n^p), то ряд x_n при p>1збігається, а при p1- розбігається.

Т10. (Ознака Коші). Якщо для ряду , а_k>0 kєN (2) qє]0,1[: (a_k)^1/k =<q<1, то ряд (2) збігається, а при (a_k)^1/k >=1- розбігається.

Т11. (Ознака д' Аламбера). Якщо для ряду (2) qє]0,1[: (a_k+1 /a_k)=<q<l, то ряд (2) збігається, а при (a_k+1 /a_k)>1 - розбігається.

Наслідок. (Узагальнена ознака д' Аламбера). Якщо для ряду (2)  lim_k (a_{k +1} /a_k)=q, то якщо q<1, то (2) збігається, якщо q>1, то (2) розбігається.

Т12. (Ознака Раабе). Якщо для ряду (2)  r>0: k((a_k/a_k+1) - 1)>=r>1, то ряд (2) збігається, а при k((a_k/a_k+1) - 1)=<1- розбігається.

Т13. (Ознака Гауса). Нехай для ряду (2) a_k/a_k+1= =l+m/k+q_k/k^1+E , де l,m,E- сталі і E>0, |q_k|=<C - додатня постійна kєN, тоді при l>1 (2) збігається; при l<1 (2) розбігається; при l=1 якщо m>1 (2) збігається, якщо m=<1 (2) розбігається.

Т14. (Інтегральна ознака Коші). Нехай mєN ф-ція f:[m,+[R - невід’ємна і незростає на [m,+[, тоді ряд f(k) (k=m,..,+) збігається коли збігається числова пос-ть{_Gf(t)dt},де G:=[m,m+n], xє[m,+[.

Тепер розглянемо ряди з довільними членами. Якщо для ряду x_n(скрізь n:=1,..,+) (3) збігається ряд x_n  (4), то ряд x_n називається абсолютно збіжним.

Т15. Якщо ряд x_n абсолютно збіжний, то він збігається, тобто якщо (4) збіг-ся, то (3) теж збігається.

Якщо ряд x_n збігається, але не абсолютно ( тобто ряд x_n розбіжний ), то він називається умовно збіжним.

Т16. (Ознака Лейбніця). Знакопочередний ряд (-1)^n-1x_n (  nєN x_n 0 ) збігається, якщо послідовність {x_n} не зростаюча, тобто 0<x_n+1=<x_n nєN i монотонно прямує до нуля, тобто x_n0, n.

Т17. (Ознака Абеля). Ряд u_n v_n збігається, якщо ряд u_n збігається, а послідовність {v_n} монотонна і обмежена.

Т18. (Ознака Діріхле). Ряд u_nv_n збігається, якщо посл-ть часткових сум {U_n}ряду u_n-обмежена, тобто  M>0: |U_n|=<M nєN, а послідовність {v_n} є монотонною та збігається до 0, тобто v_n0, n.

Озн. Відображення , де Ф – сукупність всіх функцій дійсного аргументу, називається функціональною послідовністю і позначається (f_n). f_n називається n–тим членом функціональної послідовності. (приклади: всі ф-ції, що залежать від х і від n: .)

Озн. Функціональним рядом називається функціональна послідовність ( ) , де S_n(x)= називається n-тою частковою сумою функціональної послідовності.

Озн. Нехай для функціональної послідовності (f_n) існує функція f така, що виконуються умови: n Df_n =Df=XR, xX f_n(х)f(x) при n. Тоді функція f(x) називається поточковою границею функціональної послідовності (f_n). Аналогічно функціональний ряд , Df_n =X поточково збігається до деякої ф-ції S(x), xX, якщо xX S_n (x)= →S(x) при n.

Озн. Функціональний ряд  f_n (послідовність (f_n) ), у якого (якої) n Df_n =X – спільна область визначення рівномірно збігається на Df=X до функції f з тою самою областю визначення, якщо S_n-f0, n (f_n-f0, n ) і позначається f_n f. (f_n f). (Число sup _xDf f(x) називається рівномірною нормою функції f і позначається f).

Т0. (Про збіжн. Норм. Збіжного ф.р.)

Якщо - нормал. Збіг. На х, то він збігається рівномірно.

Д. , використовуючи два критерія Коші для числ. Посл. І рівном. Збіжн.

Т1. (Ознака Вейєрштраса рівномірної збіжності функц. рядів).

Нехай для функціонального ряду  f_n існує додатня числова послідовність (a_n), що є мажорантою  f_n (n  f_n a_n або  f_n =О(a_n)) і ряд  a_n - збіжний. Тоді функціональний ряд  f_n рівномірно збіжний.

Доведення: зі збіжн. використ. Мажор. ознаку - нормал. Збіжн і застосовуємо теорему 0.

Озн. Символи Ландау: х_n=о(1) означає, що х_n збігається до 0 (є нескінченно малою); х_n=О(1) означає, що х_n обмежена.

Т(про рівномірну збіжн. Рядів пов’язаних перетворенням Абеля)

якщо збігається рівномірно або нерівном. Одночасно

Д. перший доданок рівномірно збіж., а другий збіг і розб одночасно.

Т2. (Ознака рівномірної збіжності)

Якщо xX послідовність (f_n(х)) монотонна по n, а послідовність (f_ng_n) рівномірно збігається на Х і виконується , то функц. ряди рівномірно збігаються на Х.

Д. ,

, Так як х довільн. перейдемо до супремуму

зад. Умову Коші

функц. Ряд рівном. Збіжн.

Т3. (Ознака Абеля)

Якщо для функц. ряду виконуються такі умови:

1. ряд рівномірно збіжний;

2. xX послідовність ( fn(x) ) монотонна по n;

3.  f_n = O(1) – послідовність  f_n є обмеженою по х і по n.

то ряд рівномірно збігається.

Д. 1) рівномірно збіг до нуля, бо перший та другий доданки збігаються до f(x).

2) , тому, що пеший супремум =о(х), а другий = О(х). Таким чином з теореми 2 рівном. Збіж. =

=

Т4. (Ознака Діріхле)

Якщо для функц. ряду виконуються такі умови:

1. – обмеженість часткових сум;

2. xX послідовність (f_n(x)) монотонна;

3. f_n = o(1),

то ряд – рівномірно збіжний.

Д. монотон. Викон. за теоремою 2

рівном. Збіж. Щоб збігався ряд повинно збігатися рівномірно. рівномірно збіг. До 0. З теореми з перетворенням Абеля слідує, що рівном. Збіг, а за побудовою це означає, що рівномірно збігається.

Озн. Функц. ряд вигляду назив-ся степеневим рядом (це поліном n-го степеня).