- •Екзаменаційний білет № 1
- •Числова послідовність та її границя.
- •1.2 Основна теорема про подiльність многочленiв.
- •Екзаменаційний білет № 2
- •2.1. Властивостi неперервної функцiї на компактi.
- •Т про розщеплення лін опер: Нехай а лін опер над полем f і -добудок попарно простих множників , тоді пряма сума , при чому викон:
- •Екзаменаційний білет № 3
- •Локальний екстремум. Необхiднi та достатнi умови екстремуму.
- •Задача лiнiйного програмування. Її властивостi.
- •Властивості допустимої області злп
- •Властивості розв’язків злп
- •Екзаменаційний білет № 4
- •4.1. Інтеграл Рiмана. Критерiй iнтегрованостi функцiї за Рiманом.
- •Екзаменаційний білет № 5
- •Двоїстi задачi лiнiйного програмування. Теореми двоїстостi.
- •Іі Теорема двоїстості (двоїстий критерій оптимальності)
- •Екзаменаційний білет № 6
- •6.1. Інтеграл Рiмана на компактi та його застосування (обчислення площин, об'ємiв).
- •6.2. Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Такера.
- •Екзаменаційний білет № 7
- •Гребенева оцінка. Її властивості та методика використання.
- •Метод найшвидшого спуску.
- •Екзаменаційний білет № 8
- •8.1Пряма та обернена крокова регресія.
- •8.2Оптимальнi чистi стратегiї у матричнiй грi. Теорема про мінімакс.
- •Екзаменаційний білет № 9
- •Задача коваріаційного аналізу та її розв’язання.
- •Двокроковий метод найменших квадратів
- •9.2.Типи даних. Стандартні типи даних (арифметичний та символьний). Структуровані дані та їх типи. Масиви. Файли.
- •Екзаменаційний білет № 10
- •Невласні інтеграли. Ознаки збiжностi.
- •Теорема 6
Іі Теорема двоїстості (двоїстий критерій оптимальності)
(звичайний критерій оптимальності: ДБР х – оптим
)
ДБР х – оптимальний u = (u1 , …, um):
uaj = cj для xj>0
uaj <= cj для xj = 0
aj – j-ий стовпчик в матриці А
Екзаменаційний білет № 6
6.1. Інтеграл Рiмана на компактi та його застосування (обчислення площин, об'ємiв).
Позначимо , , .
Озн. Верхньою (нижньою) інтегральною сумою Дарбу для функції f:[a,b]R і розбиття Р називається і позначається сума ( ) .
Озн. Верхнім (нижнім) інтегралом Дарбу для функції f на [a,b] називається і позначається вираз: ( ).
Озн. Функція назив-ся інтегровною за Ріманом на [a,b], якщо її = , при цьому спільне значення цих інтегралів називається інтегралом Рімана на [a,b].
До класів інтегровних функцій можна віднести:
неперервні ф-ції, інтегровні на [a,b].
Ф-ції, що мають злічене (скінчене) число точок розриву 1-го роду.
Всі монотонні ф-ції на [a,b].
Властивості кратних інтегралів:
Якщо відрізок [a,b] рівний 0, то .
.
.
Якщо ф-ції f,g – інтегровні, то добуток цих ф-цій теж інтегровний.
.
Правила інтегрування:
Як правило використовується формула Ньютона-Лейбніца: (Ф – первісна).
Є 2 методи інтегрування:
метод інтегрування частинами ;
метод підстановки . φ(t) – диференційовна і неперервна, a≤φ(t)≤ b.
Застосування інтегралів Рімана:
Обчислення площи криволінійної трапеції.
Нехай , накладаються умову . Ці умови задають криволінійну трапецію, площа для якої обчислюється за формулою
Площа криволінійного сектора:
- криволінійний сектор. Площа дорівнює .
Параметрично задана крива:
, сама крива не має самоперетинів та розривів при обході за годинниковою стрілкою.
Обьєм тіла при обертанні навколо вісі :
, , , - тіло утворене при обертанні.
При обертанні навколо так само, лише додаткова умова - монотонна.
Довжина параметрично заданої кривої:
, крива задається за 3) плюс ,
6.2. Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Такера.
Сформулюємо задачу опуклого програмування. Знайти мінімум опуклої функції z=f0(x) при умові xDEn, де D- опукла множина.
Множина D, як правило, задають наступним чином:
,
де (x), ,-опуклі функції. Ця множина опукла в силу такої теореми:
Т. Нехай g(x), xEn -опукла функція. Тоді множина V={x: g(x)<=0}-опукла.
Ясно, що множина D також і замкнена. З наступної теореми випливає, що будь-який локальний мінімум задачі опуклого програмування є і глобальним:
Т. Нехай f(x)- опукла функція, задана на замкнутій опуклій множині XЕn. Тоді б-я відносний мінімум f(x) на X являється абсолютним мінімумом f(x) на X.
Визначимо функцію Лагранжа для задачі опуклого програмування співвідношенням
L(x,)=f 0(x)+
x=(x1,...,xn) En, =(1,...,m) Em,x>=0, >=0.
Говорять, що точка (x*,*)En+m являється сідловою точкою функції L(x,), якщо для всіх x0, 0 мають місце нерівності:
L(x*,) <= L(x*,*) <= L(x,*).
Наступне твердження дає узагальнення методу Лагранжа на задачу опуклого програмування.
Т1.(достатні умови оптимальності)
Якщо ф-ція Лагранжа з-чі
, де Х-опукла мн-на, fi(x), i=0,1,…m, опуклі на Х, має сідлову точку (x*,*), то x* є оптимальним р-ком з-чі С, і при цьому виконується правило доповнюючої нежорсткості
Т.(Куна-Такера). Нехай
- задача опуклого програмування, допустима мн-на якої задовольняє умову регулярності Слейтера: якщо існує точка xDС, в якій fi(x)<0, для будь-яких i=1,m, то говорять, що мн-на DС задовольняє умову Слейтора. Тоді допустимий р-к x*DС з-чі С є її оптимальним розв’зком тоді і тільки тоді, коли існує вектор *=(1*,...,*m)0 такий, що пара (x*,*) є сідловою точкою функції Лагранжа з-чі С на мн-ні xХ, 0 .
Доведення. Достатність випливає з теореми про достатні умови оптимальності.
Необхідність. Нехай х*- оптимальний р-зок задачі С, тобто для всіх xDС виконується нерівність f0(x*)f0(x).Покажемо, що при виконанні умов теореми (опуклість функцій f і gi і умова Слейтера) існує вектор 0 такий, що пара (х*,*) є сідловою точкою функції Лагранжа
В просторі Еm+1 визначимо множини Y і Z наступним чином:
Неважко показати, що множина Y і Z- опуклі множини, що не перетинаються. В силу теореми (про відокремленість множин Y і Z) знайдеться вектор с=(с0,.с1,...,сm)0 такий, що (c,z)(c,y) для всіх yY i zZ.За визначенням множин Y і Z із нерівності (c,z)(c,y) випливає, що c0. Нерівність (c,z)(c,y) залишається справедливою, якщо вибрати z належним границі Z. Через це, якщо покладемо y0=f0(x), yi=fi(x), , z0=f0(x*), zi=0, , отримаємо для всіх x0 нерівність
або в явному вигляді
(2)
Покажемо, що с0>0(раніше було с0).Доведемо від супротивного. Нехай с0=0. Тоді з нерівності (2) маємо
(3)
де не всі сi( ) дорівнюють 0(с0).Перепишемо (3) у вигляді
Але остання нерівність суперечить умові Слейтера, згідно якої існує таке хD, що fi(x)<0. Нехай тепер *=(1*,...,m*),де m*=сі/с0, . Тоді *0 і для будь-яких х0 з співвідношення (3) маємо
.(4)
Поклавши в (4) х=х*, отримаємо
З іншого боку, оскільки ,а , маємо
(5)
Зауважимо, що остання нерівність носить назву умови додаткової нежорсткості і аналогічна співвідношенню
у двоїстому критерії оптимальности ЗЛП. З співвідношеннь (4) та (5) з очевидністю випливає, що і треба було довести.