Т про розщеплення лін опер: Нехай а лін опер над полем f і -добудок попарно простих множників , тоді пряма сума , при чому викон:

1.Для підрп інваріантний відносно А

2. Для оператор діє на , як тотожньо нульовий

Т про будову нільпотентного опер: Нехай прост L скінч вим над деяким полем F .Нехай А нільпот опер, що діє на L. Тоді можна вибрати такий базис прост , в якому матр опер А- Жорданова.

Твердження: розміру n* n. подібні коли вони мають одн. норм. Жорд. форми(НЖФ).

Зауваження: 1) Матр. мають одн. НЖФ , якщо останні відр. розташ. жорд. клітин.

2) Тв.про існ. жорд. нор.форми залиш. дійсним для , якщо

-має тільки дійсні корені.

Означення: Базис -наз. жордан. базисом , якщо в цьому базисі відпов. матрице , що має ЖНФ.

Теорема: Для довільного лін. перетв. існує жорданів базис.

Доведення Т Жордана:

Нехай А лін опер на скінченно вим над . Так як алгебраїчно замкнене на оператора А, над цим полем можна розкласти у добуток лін множників , де

Позначимо многочлен . Тоді .

Многочлени попарно взаємно прості, тому за теор про розщеплення лін опер .Кожен інваріантний відносно А і .Звідси, якщо в кожному , для опер А існує морданів базис то об‘єднання цих базисів – жорданів базис. Нехай А_і звуження А на . За теор про розщеплення лін опер , оператор діє на , як тотожньо нульовий опер, тобто =0.Тому або

Оператор нільпотентний, тому за теор про його будову для нього існує морданів базис із , жордановий і для А_і, тобто у кожному , для відповідних звужень А існують Жорданові базиси . Ці базиси Жорданові і для А, а їх об‘єднання дає Жорданів базис всього простору для А

Екзаменаційний білет № 3

1. Локальний екстремум. Необхiднi та достатнi умови екстремуму.

Функція f: (a,b)R має локальний максимум (мінімум) в точці x₀(a,b), якщо існує окіл (x₀-, x₀+)(a,b) такий, що x(x₀-,x₀+) f(x)f(x₀) (f(x)f(x₀)).

Якщо останні нерівності будуть строгими (xx₀), тобто f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)), то локальний максимум (мінімум) називається строгим.

Необхідна умова екстремуму:

Теорема1. Якщо ф-ція x₀(x₀-,x₀+)(a,b) f(x) диф-на в т с та має в цій точці локальний екстремум, тоді f '(с)=0.

Теорема Ферма.

Нехай функція f: (a,b)R має локальний максимум (мінімум) в точці x₀ (a,b) і має в цій точці як праву так і ліву похідну, тоді .

З означення диференційованості функції в точці .

Припустимо, що в точці є екстремум, а похідна не дорівнює 0, то або >0 або <0, алн внаслідок неперервності , то з стійкості нерівності в деякому околі зберігає знак, з чого слідує, що права частина не зберігає знак при переході через точку . В одному з менших околів , де одночасно виконується знакосталість і знакозмінність, а це неможливо. Отже . 

Т2. (Перша достатня умова екстремуму).

1) Нехай f: (a,b)R - неперервна на (a,b) функція і  >0: f' існує в кожній точці деякого околу точки x₀ (x₀-,x₀+)(a,b). Якщо при переході через точку x₀ f' змінює знак, то в цій точці функція має локальний екстремум.

2) Нехай f: (a,b)R хє(a,b)  >0: f' існує в кожній точці деякого околу точки і f'(х0)=0. Якщо при переході через точку x₀ f' змінює знак, то в цій точці функція має локальний екстремум.

Т3. (Друга достатня умова екстремума).

Якщо функція f: (a,b)R задовольняє в точці x₀ (a,b) умовам :1) f "(x₀)0 (скінчена) і 2) f '(x₀)=0, то f має локальний екстремум в точці x₀ (f "(x₀)>0 –min i f "(x₀)<0 - max).

Т4. (Третя достатня умова екстремума).

Нехай функція f: (a,b)R задовольняє в точці x₀ (a,b) умовам: 1) >0: f n-раз диф-на в околі деякої точки x₀ (x₀-,x₀+)(a,b); 2) f^(k)(x₀)=0, k=1,...,n-1; 3) f⁽ⁿ⁾(x₀)0. Тоді при парному n f має екстремум в точці x₀, а при непарному n екстремуму в точці x₀ не має.