2. Задача лiнiйного програмування. Її властивостi.

Однією з найважливіших задач оптимізації є задача математичного програмування, що полягає в пошуку екстремуму (максимуму чи мінімуму) функції при умовах .

Якщо функції , - лінійні, а область X задається обмеженнями виду , то вказана задача називається задачею лінійного програмування (ЗЛП). Приклади задач лінійного програмування: задача про харчовий раціон (задача про дієту), задача розподілу ресурсів, задача про перевезення (транспортна задача).

Загальну задачу лінійного програмування (ЗЗЛП) визначимо наступним чином.

Знайти вектор , який мінімізує (максимізує) лінійну функцію (1)

та задовольняє системі лінійних обмежень

(2) (3)

де символ Ri замінює один з знаків , , 

Обмеження (3) наз. прямими обмеженнями та не включаються в число співвідношень (2).

Сукупність точок x, які задовольняють (2) та (3), наз. допустимою областю (множиною) ЗЛП, яку ми будемо записувати також у вигляді

Довільну точку назвемо допустимим розв’язком (точкою, вектором, планом).

Назвемо також цільовою функцією L(x) співвідношення (1), а допустиме значення, яке доставляє мінімум (максимум) цільової функції - оптимальним розв’язком ЗЛП:

При цьому будемо називати оптимальним значенням цільової функції.

Властивості допустимої області злп

Нехай . Опуклою лінійною оболонкою точок назвемо сукупність точок , де - довільні числа, які задовольняють співвідношенню .

Б-я точка опуклої лін оболонки наз опуклою лін комбінацією точок .

Частинним випадком (r=2) цього визначення є наступна конструкція. Назвемо відрізком опуклу лінійну оболонку точок чи формально

W - опукла множина, якщо для довільних точок відрізок . Множина наз. півпростором в , а множина - гіперплощиною в .

Лема 1. Перетин опуклих множин - опукла множина.

Лема 2. Півпростір є опуклою множиною.

Лема 3. Гіперплощина є опуклою множиною.

Багатогранною множиною назвемо перетин скінченого числа півпросторів. Обмежену багатогранну множину назвемо багатогранником. Доп. множина D ЗЛП є багатогранною множиною.

Теорема Допустима множина D ЗЛП є опуклою багатогранною множиною (опуклим багатогранником розв’язків - обмеженим чи необмеженим).

Точка х опуклої множини наз кутовою (крайньою), якщо її не можна представити у вигляді

Властивості розв’язків злп

Нехай D - непорожня та є обмеж. багатогранником.

Лема4. Довільна точка опуклого обмеженого багатогранника є опуклою лінійною комбінацією його вершин..

Теорема Цільова функція ЗЛП досягає оптим-ого значення в вершині багатогранника розв’язків. Якщо цільова функція приймає оптимальне значення більше ніж в одній точці, то вона досягає того ж значення в довільній точці, що є їх опуклою комбінацією.

Екзаменаційний білет № 4

4.1. Інтеграл Рiмана. Критерiй iнтегрованостi функцiї за Рiманом.

Озн. Назвемо Р=Р_[a,b] розбиттям сегмента [a,b], якщо ця мн-на складається з точок, що задовольняють умову , .

Озн. Діаметром або нормою розбиття Р назив-ся.

Озн. Мн-на назив-ся сукупністю проміжних точок.

Озн. називається інтегральною сумою Рімана для функції f:[a,b]R, що відповідає розбиттю Р та сукупності проміжних точок .

Озн. (1-ше озн-ня інтегралу Рімана): Якщо , то функція f назив-ся інтегровною за Ріманом на сегменті [a,b], а значення І назив-ся інтегралом Рімана від функції f на [a,b] і позначається (це означення можна використовувати як критерій інтегровності ф-ції за Ріманом).

Позначимо , , .

Озн. Верхньою (нижньою) інтегральною сумою Дарбу для функції f:[a,b]R і розбиття Р називається і позначається сума ( ) .

Озн. Верхнім (нижнім) інтегралом Дарбу для функції f на [a,b] називається і позначається вираз: ( ).

Озн. (2-ге озн-ня інтегралу Рімана (для обмежених функцій)): Функція назив-ся інтегровною за Ріманом на [a,b], якщо її = , при цьому спільне значення цих інтегралів називається інтегралом Рімана на [a,b].

Теорема. 1-ше та 2-ге означення інтегралу Рімана еквівалентні.

Теорема: критерій інтегровності функції за Ріманом.

Функція f є інтегровною за Ріманом на [a,b] тоді і тільки тоді, коли .

Необх. , аналогічно для верхньої межі : . Розглянемо p, яке є спільним розбиттям :

Дост. .Верх. і нижн. інт. є сталими, різниця між сталими , отже вони співпадають, отже функція інтегрована за Ріманом. 

Теорема: Нехай - замкнена множина, - обмежена, тоді , E- замкнена.

Теорема Лебега.

Для того, щоб обмежена на сегменті функція була інтегровна за Ріманом на ньому, необхідно і достатньо, щоб мн-на точок її розриву мала Лебегову міру 0. (Мн-на R має Лебегову міру 0, якщо існує злічене покриття ( ={(_i, _i)i }) Х деяким інтервалом, сумарна довжина якого не перевищує ε).

Необх. Нехай .

Критерій неперервності Бера якщо , то ці точки попадають в E при - множина точок розриву.

Покажемо, що , за попередньою теоремою множина - замкнена , отже компактна, оскільки ще й обмежена за лемою Бореля-Лебега можна покрити скінченим покриттям інтервалів. Оскільки , то фіксоване. - проміжки розбиття , . покриває . .

За властивістю Лебегової міри 0 .

Дост. Нехай розглянемо і за властивістю Лебегової міри 0 злічене покриття інтервалу за Германською теоремою - замкнена , вона ще й обмежена компактна скінчене під покриття . Нехай P таке розбиття , в яке входять всі краї , тоді P має скінч кількість точок , так як скінчена. з обмеженості функції її коливання <2M (тобто ) 

Наслідки. Якщо функція неперервна чи монотонна на сегменті [a,b], то вона інтегровна за Ріманом на цьому сегменті.

4.2. Критерiй оптимальностi базисного розв'язку задачi ЛП. СЗЛП. Шукається хEⁿ: L(x) = ⁿ_j=1 c_j x_j  min (1)

ⁿ_j=1 a_ij x_j= b_i , i = 1,...,m (2)

x_j  0, j = 1,n (k  n) (3)

Ненульовий допуст. розв’язок х задачі (1)-(3) наз. базисним розв’язком (БР), якщо система векторів умов А_j, що відповідають додатнім компонентам х є лінійно незалежною. Оскільки rang A = m, то максимальна кількість лін. незалежних векторів умов = m,  максимальна кількість додатніх компонент базисного розв’язку = m.

Базисний розв’язок наз. невиродженим, якщо кількість додатніх компонент дорівнює m, і виродженим, якщо кількість додатніх компонент < m. Розглянемо невироджений БР, позначимо його через x=( x₁, x₂,..., x_m,0,...,0). x_i>0, i=1,m. Вектори умов А₁, А₂,...,А_m - лінійно незалежні. Вони формують базис, що породжує відповідний БР, утворюють базисну матрицю (А₁,...,А_m)=В, яка визначається однозначно. Розглянемо вироджений БР, x=(x₁,x₂,...,x_к,0,...,0).

k<n; А₁,...,А_k - лінійно незалежні. Вони не будуть формувати базис. Базисом у цьому випадку є довільна система m лін. незал. векторів умов, що містить А₁,...,А_k. Матриця визначається неоднозначно.

Змінні, що відповідають лінійно незалежним векторам, наз. базисними.

Теорема Кронекера-Капелі Допустимий розв’язок х ЗЛП є вершиною допустимої множини  коли х є базисним розв’язком.

Нехай _k= c_k – ^m_i=1 c_i_ik - симплекс-різниця, що відповідає змінній x_k.

Теорема (Критерій оптимальності БР ЗЛП). Якщо для деякого БР х* ЗЛП симплекс різниці _j  0 (j=1,n), то х* - оптимальний розв’язок ЗЛП.