Екзаменаційний білет № 10

1. Невласні інтеграли. Ознаки збiжностi.

Розглянемо функцію f:

f: [a, +)R, y[a, +) f([a, y])

Тоді визначимо функцію F:

F: [a, +)R (1)

- невласний інтеграл (НІ) 1-го роду на [a, y]. Функція f є невласно інтегрованою на [a, y].

Розглянемо ліміт функції F:

(2)

Якщо цей ліміт існує, то НІ (1) збігається.

Аналогічно вірне наступне:

f: (-, b]R, y(-, b] f([y, b])

Якщо границі (2) не існує, то інтеграл розбігається, а функція f – неінтегрована у невласному розумінні на [a, +).

Теорема 1 (Критерій Коші збіжності НІ 1-го роду)

НІ (1) збігається тоді і тільки тоді, коли для >0 y₀()0 :

f(x)0 x[a, +), тоді F(y) монотонно зростає на [a, +).

Теорема 2

Нехай f(x)0 x[a, +). Тоді для збіжності НІ 1-го роду необхідно і достатньо, щоб виконувалось:

Теорема: (рівносильні ознаки збіжності)

Якщо , то наступні умови еквівалентні:

1)

2)

3) послідовність збіжна

4) ряд -збіжн.

Теорема (практична ознака збіжності)

Якщо то розбіг

Теорема 3 (Ознака Абеля збіжності НІ 1-го роду)

Нехай:

а) - збігається;

б) функція g – монотонна та обмежена на [a, +).

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Теорема 4 (Ознака Діріхле збіжності НІ 1-го роду)

Нехай:

а) функція f –інтегрована за Ріманом на [a, +)

б) функція g – монотонна на [a, +) та .

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Д. Запишимо критерій Коші

за ознакою Абеля

за критерієм Коші

за даною теоремою доведено.

Нехай a, b – дійсні числа, -<a<b+

Визначимо функцію f: f:[a, b)R, |f(x)|+, xb-0 (b – особлива точка). f – інтегрована за Ріманом на [a, b). Тоді визначимо функцію F:

F: [a, b)R (3)

- невласний інтеграл (НІ) 2-го роду на [a, b).

Розглянемо ліміт функції F:

(4)

Якщо цей ліміт існує, то НІ (3) збігається.

Аналогічно вірне наступне:

f: (a, b]R, y(a, b] f([y, b])

Якщо границі (4) не існує, то інтеграл розбігається.

Теорема 5 (Ознака Коші збіжності НІ 2-го роду)

НІ (3) збігається тоді і тільки тоді, коли для >0 ()>0:

виконується для

f(x)0 x[a, b), тоді F(y) монотонно зростає на [a, b).

Теорема 6

Нехай f(x)0 x[a, b). Тоді для збіжності НІ 2-го роду необхідно і достатньо, щоб виконувалось:

Теорема 7 (Ознака Абеля збіжності НІ 2-го роду)

Нехай:

а) - збігається;

б) функція g – монотонна та обмежена на [a, b).

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Теорема 8 (Ознака Діріхле збіжності НІ 2-го роду)

Нехай: а) функція f –інтегрована за Ріманом на [a, b)

б) функція g – монотонна на [a, b) та .

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Теорема (практична ознака збіжності )

10.2Мови програмування та їх класифікація. Мова програмування - це знакова система для опису алгоритмів програм, орієнтованих на конкретних виконавців (насамперед ЕОМ).

Знакова система складається з трьох компонент :

1. правила, що описують синтаксис ;

2. правила, що задають семантику синтаксично правильних конструкцій ;

3. правила, що формують прагматику синтаксично правильних конструкцій.

Класифікацій мов програмування існує багато, але наукової теорії поки що немає. Три основні класифікації склалися історично:

1. За функціональною силою:

1. універсальні мови ( в них можна промоделювати, умовно кажучи, будь-який алго-ритм) ;

2. спеціалізовані мови (орієнтовані на певні класи задач).

2. За предметною орієнтацією:

Кожна мова програмування виникла в процесі розв’язання певного класу задач, наприклад, для розвязання задач повязаних з иатематикою виник Fortran.

3. За рівнем абстракції :

1. мови низького рівня (машинно-залежні) - Assembler і т. п. ;

2. мови високого рівня (орієнтовані на користувача (людину) до певної міри) - Pascal, C, Fortran і т. п. ;

3. мови надвисокого рівня (орієнтовані на певну предметну область) - бази даних, мови підготовки друкування документів і т. п.