- •Екзаменаційний білет № 11
- •Формула Тейлора функції однієї змінної .
- •11.2 Перевiрка статистичних гiпотез. КритерiїКолмогорова та Пiрсона.
- •Екзаменаційний білет № 12
- •12.2Випадкове середнє та дисперсія. Емпiричнафункцiярозподiлу.
- •Екзаменаційний білет № 13
- •Теорема існування та єдиностi розв'язку задачi Кошiдиференцiальногорiвняння першого порядку.
- •Поняття випадкового процесу. Вiнерiвський та Пуасонiвський процеси.
- •Екзаменаційний білет № 14
- •14.1. Лiнiйнiоднорiднiдиференцiальнiрiвняння n-го порядку iз сталими коефiцiєнтами. Побудова загального розв'язку.
- •14.2. Центральна гранична теорема для однаково розподiлених незалежних випадкових величин.
- •Екзаменаційний білет № 15
- •15.1Системи лiнiйнихдиференцiальнихрiвнянь з сталими коефiцiєнтами. Знаходження загального розв'язку однорiдних систем.
- •Системилінійниходноріднихдиференціальнихрівнянь з сталимикоефіцієнтами.
- •4.3.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.
- •Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом
- •15.2Основнi типи дискретних та неперервних розподiлiв.
- •Екзаменаційний білет № 16
- •Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем
- •Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих
- •Формула Коші
- •НерiвнiстьЧебишева. Закон великих чисел.
- •Екзаменаційний білет № 17
- •17.1Теорiя стiйкостi. Стiйкiстьлiнiйнихстацiонарних систем. Критерій Гурвiца. Теореми Ляпунова.
- •Фазовий портрет лінійноїсистеми на площині
- •17.2Випадковi величини. Властивостiфункцiйрозподiлу.
- •Екзаменаційний білет № 18
- •18.1Динамічні системи. Означення та класифікація динамічних систем за Калманом.
- •18.2Аксiоматичне означення ймовiрностей. Формула повної ймовiрностi та формула Байеса.
- •Екзаменаційний білет № 19
- •Задача однофакторного дисперсійного аналізу та її розв’язання.
- •19.2Первинні оператори. Оператор присвоєння. Структурні оператори (складені, умовні, циклічні). Оператор вводу-виводу.
- •Екзаменаційний білет № 20
- •Градiєнт, дивiргенцiя I вихор векторного поля.
- •20.2 Слабко-ефективні альтернативи. Теорема Гермейєра.
Екзаменаційний білет № 11
Формула Тейлора функції однієї змінної .
Теорема 1 (локальна формула Тейлора).
Нехай функція і
– локальна формула Тейлора. (1)
де - залишковий член у формі Пеана.
Розглянемо дві функції:
;
, ;
,
,
формула (1).
У випадку х0=0 формула Тейлора називається формулою Маклорена: (2).
Теорема 2 (формула Тейлора).
Якщо fCn[a,b] і f(n+1), x(a,b),то для двох довільних точок х та х0 з [a,b] має місце формула (5), яка називається формулою Тейлора із залишковим членом (6) у формі Шльоміха-Рома.
(5),
де (6).
Розглянемо функцію [a,b] R; fCn[a,b] і f(n+1), x(a,b) і , де t[a,b], а х – деяка стала з [a,b], параметр р – довільний, додатній, – деяка стала.
h(x)=0, x0[a,b] і знайдемо h(x0): .
Виберемо таке, щоб h(x0)=0.
Знайдемо похідну:
.
. Тоді вірні формули (5) та (6).
Підставляючи різні значення р, можна отримати різні залишкові членів:
р=1 –залишк член у формі Коші;
р=n+1 – залишковий член у формі Лагранжа.
Якщо , тоді – залишковий член у формі Коші для формули Маклорена.
– залишковий член у формі Лагранжа для формули Маклорена.
Якщо h=x-x0, тоді: – формула Тейлора у диференційованому вигляді.
11.2 Перевiрка статистичних гiпотез. КритерiїКолмогорова та Пiрсона.
Задача перевірки гіпотез відноситься до 3-го типу задач мат. статистики. Ця задача полягає у визначенні на основі спостережень узгодженності наявної інформації з тим чи іншим припущенням про значення невідомого параметру . Існує два типи гіпотез, що перевіряються:
типу альтернативного вибору;
типу .
Альтернативний вибір.
У задачі перевірки гіпотез типу АВ формулюються два припущення, щодо можливості значення невідомого параметру . Ці припущення позначаються як та . На основі виборки , треба сформулювати правило, яке б робило вибір на користь тієї чи іншої гіпотези.
Оскільки кожна серія спостережень дає нову вибірку,то висновки про ту чи іншу гіпотезу ( що базуються на основі правила ) будуть носити випадковий характер. Отже, в задачі АВ вводять додаткову характеристику: довірчу ймовірність - ймовірність прийняття гіпотези , коли вона є справедливою.
Більш формально: , , , .
В задачі АВ необхідно з двох однотипних припущень та про значення параметру вибрати одне . Ймовірність вибору першого, коли воно дійсно вірне , повинна бути , а також ймовірність відхилення другого, якщо насправді воно справедливе, повинна бути мінімальною. Ці дві ймовірності в математичній статистиці прийнято називати похибками першого та другого роду відповідно. Тобто необхідно прийняти рішення при фіксованій похибці першого роду і так , щоб похибка другого роду була мінімальною.
Типу .
У задачі перевірки гіпотези типу висувається наступна гіпотеза: і її альтернатива: . Отже у цьому типі гіпотез на відміну від попередньго випадку, основна гіпотеза і альтернативна є різними за типом : - одинична та - множинна .
Отже в цій задачі треба із імовірністю підтвердити припущення , коли воно є вірним чи відхилити його.
Критерій Смірнова-Колмогорова.
Цей критерій застосовується для перевірки гіпотез типу , які мають форму припущення про вигляд функції розподілу.
Маємо вибірку з геральної сукупності
, де - будь-яка задана, тобто функція розподілу перевіряється на співпадання з заданою.
Алгоритм критерію:
Будуємо статистику , де - емпірична функція розподілу. Тоді справедлива
Теорема. (Колмогорова).
Якщо вибірка була побудована з функцією розподілу ( повинна бути неперервною), тобто має місце наше припущення, то
. Тобто якщо припущення зроблено не правильно, то данної границі , взагалі кажучи, може не існувати.
По вибранному знаходимо : , далі - довірча область для .
Приймаємо рішення в залежності від справедливості співвідношення : : + - приймається
- - відхиляється
Критерій (Пірсона).
Цей критерій застосовуєьтся для перевірки гіпотез для групованих вибірок.
Озн. Групована вибірка - це представлення вихідної вибірки у вигляді розбиття на групи, що не мають спільних елементів і охоплюють всю вибірку. Висувається ознака кожної з груп і кількість елементів (абсолютна частота) у кожній групі. Ознаками групування (груп) у дискретному випадку є можливі значення спостережень, у неперервному - інтервали можливих значень спостережень.
Гіпотеза, до якої застосовується вказаний критерій, має вигляд припущень про ймовірність належності будь-якій з груп групованої вибірки:
належить першій групі
Алгоритм критерію.
1. Статистика критерію: , де
- абсолютні кількості віднесення до i-ї групи у відповідності з припущенням гіпотези;
- абсолютна частота;
- характеристика розходження наявної абсолютної частоти кожної групи і передбачуваної у відповідності з припущенням гіпотези.
Твердження про розподіл статистики має асимптотичних характер: розподіл N при співпадає з .
Іноді користуються модифікованим твердженням про вигляд граничного розподілу.
Він має вигляд , де - кількість груп, - кількість невідомих параметрів , що ,залежать від цих параметрів.
Алгоритм подальших дій у критерії співпадає із звичайними кроками критерію згоди:
2. - довірча область;
3. : + - приймається
- - відхиляється