Екзаменаційний білет № 17

17.1Теорiя стiйкостi. Стiйкiстьлiнiйнихстацiонарних систем. Критерій Гурвiца. Теореми Ляпунова.

Теорія стійкості руху

При моделюванні динамічних процесів за допомогою звичайних д.р. неможливо абсолютно точно описати процес д.р. Початкові дані є результатами вимірювань і встановлюються не завжди точно. Якщо невеликі похибки впливають на процес, то за допомогою д.р. не можна досліджувати даний процес. Залежність поведінки розв’язків від початкових умов вивчає теорія стійкості руху.

Будемо розглядати с-му нелінійних д.р.

або у векторному вигляді де , а

Нехай – розв. с-ми, що задовольняє початк.умови

В изнач. Розв. наз. стійким за Ляпуновим якщо таке, що для довільного розбиття y=y(t) с-ми при буде виконуватися лише

1. Г еом.

Визнач. Якщо розб. , стійкий за Ляпуновим і , то –наз. асимптотично стійким.

В изнач. Якщо таке, що для, як завгодно малого δ>0 існує таке, що при t>Ty(T)-(T)> хоча < , то розб. наз нестійким.

Як правило дослідження стійкості фіксованого розв‘язку зводиться до дослідження стійкості нульового розв‘язку .

Нехай y=φ(t) розв‘язок системи .

Робимо заміну , де нова невід‘ємна функція. Після підстановки одержимо . І оскільки – розв‘язок системи, то . Звідси відносно х маємо диференційне рівняння , де . Диференційне рівняння , називається рівнянням збурень. І дослідження стійкості розв‘язку вихідного рівняння переходить на дослідження стійкості розв‘язку рівняння збурень . Відповідно визначені стійкості мають вигляд.

Визначення: Розв‘язок називається стійким

за Ляпуновим, якщо дя таке, що для

будь якого розбиття при ,буде

виконуватись лише .

Визначення: розв‘язок називається асимптотично стійким, якщо він стійкий і для довільного іншого розв‘язку :

Визначення: Розв‘язок буде нестійким,

якщо , та , хоча , для яких

завгодно малого .

Фазовий портрет лінійноїсистеми на площині

Розглянемо лінійну стаціонарну систему диференціальних рівнянь на площині

Побудуємо якісну картинку наведеного розв‘язку в залежності від параметрів системи (побудування фазового портрету). При розв‘язку системи складаємо характеристичне рівняння

1. Нехай . Тоді корені характеристичного рівняння

   1. Нехай –дійсні, різні, одного знаку

      1. . Розв‘язок має вигляд:

де – власні вектори. При :

, або

Т раекторія має вигляд прямої. І оскільки

, то рух по ній при .

Аналогічно при :

, або

І оскільки , то при .

Траекторії між цими прямими мають вигляд “парабол” і оскільки , то рух направлен до початку координат. Точка рівноваги називається “стійким вузлом”.

б) Нехай .

О скільки при заміні все залишиться,

як і в попередньому випадку, то фазовий

портрет цієї системи відрізняється від попереднього

лише напрямом руху. Тобто

. Степінь рівноваги назвемо

“нестійким вузлом”.

1. Нехай , дійсні, різних знаків.

Загальний розв‘язок

П ри c₁=0

маємо І рух

і де по прямій y=(_2/₁)x. При c₂=0 маємо

Всі інші траєкторії мають

вигл. “гіпербол”, розташованих

між цими прямими. Рух по траєктор.

збіг. до до однієї прямої і розбіг. від

іншої. Стан рівноваги наз “сідлом”, а прямі відповідно стійкою і постійною сепаратрисами. 3) Нехай корені комплексні _1,2=piqРозв. має вигл.

а ) Нехай p<0 Тоді x(t)0 y(t)0 при t при чому траєкторії мають вигл. спіралей, що “накручуються” на поч. корд. Стан рівноваги наз “стійким фокусом”.

б) Нехай p>0 траєкторія зберіг. такий же вигл. але рух іде у протил. напр. Стан рівноваги наз “нестійким фокусом”.

4 .Нехай λ_1,2=±iq. Розв’язок має вигляд:

Траєкторії мають вигляд замкнених кривих. Рух по них

періодичний .Стан рівноваги називається

”центром”.

5.Нехай корені кратні, ₁=₂=. Можливі 2 випадки:

1)Матриця Жордана має вигляд . Тоді розвязок має вигляд x(t)=C₁e^t , y(t)= C₂e^t ,або .

а)Якщо <0,то стан рівноваги називається стійким дикритичим вузлом.

б)Якщо >0,то нестійкий дикритичний вузол.

2)Якщо клітина Жордана ,то .Інтегральні криві мають вигляд “парабол”,що злиплись однією стороною.

а) Якщо <0,то стан рівноваги називається стійким виродженим вузлом.

б) Якщо >0,то стан рівноваги наз. нестійким ви-

дженим вузлом.

ІІ Нехай =ad-bc=0. Тоді характеристичне рівняння

має вигляд:² –(a+d)=0.

₁=0₂=a+d.

1. Нехай ₁=0 , ₂= a+d 0. Загальний розв’язок

x(t)=C₁₁e^1t +C₂₁

y(t)= C₁₂e^2t +C₂₂

С истема x^ْ =ax+by

yْ=cx+dy може бути переписана

Оскільки , то строки пропорційні і (cx+dy)=α(ax+by) ,звідки

Оскільки на прямій ax+by=0 , то це пряма сталих точок.

А на сім’ї прямих y=αx+C рух йде за законом x(t)=C₁₁e^t ,y(t)= C₂₂e^t

a) якщо <0,то особлива пряма—стійка.

b) якщо >0,то особлива пряма нестійка.

2)Нехай ₁=₂=0 , тоді особлива пряма ax+by=0 співпадає з однією з сім’ї y=αx+C,тобто

з y=αx .

СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ В R .

Розглянемо систему лінійних неоднорідних диференційних рівнянь .Нехай -

розв’язок ,що досліджується на стійкість.

ТЕОРЕМА.

Дослідження стійкості довільного розв’язку лінійної неоднорідної системи еквівалентна дослідженню стійкості нульового розв’язку .відповідної однорідної системи

ДОВЕДЕННЯ:

Зробимо заміну ,де - нова невідома функція.Одержимо .

Поскільки -розв’язок,то .І залишиться однорідна система .Як видно

з вигляду заміни розв’язку відповідає

ЗАУВАЖЕННЯ

На стійкість довільного розв’язку впливає лише матриця ! І всі розв’язки лінійних неодно-

рідних систем одночасно або стійкі або нестійкі,в залежності від стійкості нульового розв’язку одно-

рідної системи.

Таким чином (на відміну від нелінійних систем) справедливе визначення.

ВИЗНАЧЕННЯ

Лінійна система називається стійкою (асимптотично стійкою) якщо є стійкими (асимптотичностійки- ми) всі її розв’язки.

Розглянемо лінійні системи з сталими коефіцієнтами .Умови стійкості для цих систем мають

найбільш конструктивний вигляд.При дослідженні складається характеристичне рівняння det( - )=0,або .Нехай , власні числа матриці ,тобто коре-

ні характеристичного рівняння.

ТЕОРЕМА

1.Щоб лінійна стаціонарна система була асимптотично стійкою необхідно і достатньо ,щоб <0, .

2.Щоб лінійна стаціонарна система була стійкою за Ляпуновим необхідно і достатньо,щоб

Причому з нульовою дійсною частиною мали прості елементарні дільники,або клітка

Жордана складалася з одного елементу.

3.Якщо існує хоч один корінь ,то система нестійка.

ДОВЕДЕНякщо λ1= λ2=... λn= λ кратні корені.

Звідси видно, що при Re λi (А)<0 то незал. від кратності |x(t)|→0, t→+∞.

Якщо Re λi (A)=0 то комплексні корені стійкості не заважають.але потрібна відсутність многочлена(t).цезабезпечуеться простотою елемент. дільн.►

Таким чином,при досліджені стійкості розкрив. хар. рів.det(A- λE)=0 і дослідж. корені λi(А).

Як виплив з теор корені можна не знати,досить визначити значен дійсної частини Re λi (A).

Існують алгебраічні та частотні критерії.

Нех. хар. рів. має вигляд:

λⁿ +p1λⁿֿ¹+p2 λⁿֿ ²+...+pn-1λ+pn=0 Матриця виглядає:

│ p1 1 0 0 … 0│

Г=│ p3 p2 p1 1… 0│ - матриця Гурвіца, де рi=0 якщо і>n.

│ . . . . . . . . . …. …… │

│ p2n-1 p2n-2 ……… pn│

Теорема(Критерій Гурвіця)

Щоб лінстацсист була асимптот стійкою <=>щоб усі головні діагон мінори мат Гурвіця були додатні. Тобто ∆1 =р>0

∆2 =│р1 1│>0

│р3 р2│

............

∆n=рn∆n-1>0 (без доведення)

Теорема(Критерій Стодолі)

Якщо поліном n-го порядку має корені з від’ємною дійсною частиною (Re λi(А)<0) =>всі коєф полінома додатні(рі>0,і=1,n).

Заув: Для n=2 тобто f2(λ)= λ²+р1λ+р2 необхід умова асимптот стійкості (Стодолі) співпадає з необх і достат умовами асим стійкості(Гурвіця).

В техніці частіше частотні критстійк. Одним з них є крит Михайлова. На підставі хар рів

λⁿ+р1λⁿֿ¹+...+рn=0 склад функц комплексного аргум f(z)=zⁿ+p1zⁿֿ¹+…pn-1z+pn.В комплексній площині будуємо графік функц: f(iw)=(iw)ⁿ+p1(iw)ⁿֿ¹+…+pn.

При зміні 0≤w<+∞ в площині { Re f, Im f}будуеться крива, що назподографом Михайлова.

Теорема (критерій Михайлова): Щоб характеристичний поліном мав корені з від’ємними дійсними частинами (Re < 0) необхідно і достатньо, щоб приріст аргументу