Формула Коші

Нехай - фундаментальна система, нормована при тобто , де - одинична матриця. Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд . Вважаючи невідомою вектором-функцією і повторюючи викладення методу варіації довільної постійний, одержимо

Звідси . Проінтегруємо отриманий вираз .

Тут - вектор із сталих, що отриманий при інтегруванні системи. Підставивши у вихідний вираз, одержимо:

Якщо - фундаментальна матриця, нормована при , то . Звідси

Підставивши початкові значення і з огляду на те, що , одержимо - формулу Коші, загального розв’язку неоднорідного рівняння. Частинний розв’язок неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовій початковій умові, має вид . Якщо система з сталою матрицею , то . І формула Коші має вигляд .

2. НерiвнiстьЧебишева. Закон великих чисел.

Визначення. Говорять, що послідовність випадкових величин , по ймовірності збігається до випадкової величини , якщо для довільного

Р { }=0 . Збіжність по ймовірності послідовності до позначають так : ₌plim , або _.

Нехай послідовність випадкових величин , для яких існують М . Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця збігається до нуля по ймовірності.

Нерівність Чебишева:

, де - математичне сподівання та дисперсія в.в. відповідно.

Теорема Чебишова. Нехай { }- послідовність незалежних випадкових величин, існують D i D при всіх n. Тоді . (* )

Наслідок. Нехай ₁, ₂ ,…, _n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М =а, D , n=1,2,…

Тоді для кожного .

Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань ₁, ₂ ,…, _n [1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М =а, то згідно сформульованому вище наслідку,

Теорема Хінчина. Нехай { }- послідовність незалежних одинаково розподіленихвеличин, які мають скінчене математичне сподівання М =а. Тоді для кожного .

Теорема Маркова. Нехай випадкові величини ₁, ₂ ,…, _nякзавгодно залежні. Для виконання ( * ) достатньо, щоб

при .

Теорема Бернуллі. Нехай маємо послідовність випробовувань, в кожному з яких можуть бути два наслідки-успіх У ( з ймовірністю р ) або невдача Н ( з ймовірністю q=1-p) незалежно від наслідків інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Нехай _к =1, якщо в к-тому випробовуванні був успіх _к =0, якщо в к-тому випробовуванні наступила невдача. Тоді { }- є послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин M _к=p, D _к=pq. Випадкова величина представляє собою частоту появи успіху в перших n випрбуваннях. Оскільки для послідовності { }-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.

Теорема Бернуллі. Для довільного Р{ при n .

Зміст цього твердження полягає в тому, що ведене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

Теорема. Нехай - незалежні однаково розподілені випадкові величини, причому , тоді

.

Закон великих чисел є математичниимпідгрунтям для частотного визначення математичного сподівання як інтегральної характеристики розподілу: .