- •60Путей сообщения (миит)
- •Математические модели и методы в инженерных расчетах
- •Введение
- •1.Математические модели
- •1.1Модель процесса проектирования
- •1.2Теория вероятностей
- •1.3 Математическая статистика
- •1.4Сортировка
- •1.5Интерполяция табличных зависимостей
- •1.6Аппроксимация.
- •1.6.1Метод наименьших квадратов для многочленов
- •1.6.2 Полиномиальная аппроксимация
- •1.6.3Линейная аппроксимация
- •1.7Сглаживание данных
- •1.8Предсказание (экстраполяция функции)
- •1.9 Рис. 1.14 Экстраполяция функции. Численное дифференцирование
- •1.10Вычисление определенного интеграла
- •1.11Численное решение дифференциальных уравнений
- •1.12Моделирование рельефа местности
- •1.13 Рис. 1.19 Цифровая модель рельефа и продольный профиль земли по заданному направлению Моделирование продольного профиля и плана при реконструкции железных дорог
- •2.Математические методы
- •2.1Реализация численной модели на эвм
- •2.2Целевая функция. Ограничения
- •2.3Оптимизация без ограничений
- •2.3.1Прямой одномерный поиск
- •2.4Прямой многомерный поиск
- •2.4.1Градиентные методы
- •2.5 Рис. 2.35 Градиентный метод. Оптимизация с ограничениями.
- •2.6Линейное программирование
- •2.7Нелинейное программирование
- •2.8Графы
- •2.9Метод динамического программирования.
- •2.10Поиск кратчайшего пути в графе
- •2.11Экономические аспекты автоматизированного проектирования.
- •2.12Проблемы программных реализаций.
- •Программного обеспечения.
- •1. Математические модели 4
- •2. Математические методы 41
- •Екатерина Александровна Рыжик
1.11Численное решение дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение первого порядка: , где y - неизвестная функция от x. Обычно считается, что это уравнение разрешимо относительно производной, т.е. имеет вид: . Для решения уравнения необходимо задание начальных условий: x = x0 и y = y0.
Примером дифференциального уравнения первого порядка является основное уравнение движения поезда: , где r(t) - удельная равнодействующая сила.
Если уравнение имеет вид и заданы начальные условия x = x0 и y = y0, то, подставляя значения x0 и y0 в функцию , мы найдем величину производной в точке x0: .
Значение функции: , где x - малое приращение x.
Отсюда значение функции y1 = y (x1) = ,
где x1 = x0 + x.
Теперь, принимая точку (x1,y1) за исходную, можно точно таким же образом получить точку y2 = y (x2) = , где x2 = x1 + x. Таким образом, шаг за шагом, можно последовательно вычислять значения функции для различных x. Это - метод Эйлера.
Рис. 1.16
Метод Эйлера
Геометрический смысл рассматриваемого метода состоит в том, что в каждой точке, последовательно, приращение y рассчитывается по касательной в начальной точке каждого интервала (рис. 1.16). При этом ошибка последовательно накапливается и рассчитанные значения y все более и более «отстают» от действительных или «перегоняют» их.
Более точное решение можно получить, если последовательно принимать значения, , полученные по формуле Эйлера, за первое приближение. Для получения более точного второго приближения будем брать среднее арифметическое производной в начале и конце интервала, вычисляя производную в его конце при помощи первого приближения . Таким образом,
.
При необходимости можно найти следующее (ие) приближение (я).
Такую схему вычислений называют схемой с пересчетом, потому что величина на каждом шаге пересчитывается, заменяется более надежной величиной.
При решении дифференциальных уравнений требуется найти на отрезке [a,b] функцию, удовлетворяющую уравнению и начальному условию . Численное решение заключается в отыскании способа вычисления приближенного значения функции для любого значения аргумента .
В тяговых расчетах решается дифференциальное уравнение движения поезда: .
Необходимо построить кривую скорости на участке (интервале) [a,b].
Разобьем интервал [a,b] на n равных частей. Будем считать, что величина равнодействующей на каждом из полученных отрезков постоянна rk = const. При трогании поезда со станции его скорость равна 0, т.е. при S=0 - V=0.
Формула метода Эйлера для получения нового значения скорости на элементарном отрезке DS:
При решении уравнения движения поезда, обычно, исходят из преобразованного уравнения движения поезда, при условии постоянства равнодействующей на отрезке DS.
. Внеся V под знак дифференциала, получим:
Применяя формулу метода Эйлера, будем иметь:
.
Рис. 1.17
Построение кривой скорости методом
Эйлера и методом с возвратами