1.2Теория вероятностей

Многие явления в природе, технике, в других областях носят случайный характер, т.е. невозможно точно предсказать, как явление будет происходить. Оказывается, однако, что течение и таких явлений можно описать количественно, если они наблюдались достаточное число раз при неизменных условиях. Теория вероятностей дает математическую модель для описания явле­ний такого рода в объективной действительности.

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Вероятность события А обозначается Р(А). Вероятность любого события А заключается между нулем и единицей, 0Р(А)1.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять, то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая вероятность того, что Х примет меньшее значение, чем х: F(x) = P(X<x).

Функция F(x) - неубывающая функция F()=0 , F(+)=1 (рис.1.2).

Плотностью распределения случайной величины называется функция f(x) = F (x).

Рис. 1.2 Функция распределения.

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, f(x)>0, и обладает свойством . График плотности f(x) называется кривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой . Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на участок от a до b выражается формулой P(a<X<b)=F(b)-F(a) или .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формуле:

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины .

Средним квадратичным отклонением (разбросом) случайной величины называется .

Равномерное распределение.

Случайная величина называется равномерно распределенной на [a,b], если ее плотность вероятности на [a,b] постоянна, а вне [a,b] равна 0 (Рис.1.3). Так как то

Рис. 1.3 Равномерное распределение.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины распределенной равномерно на участке (a,b) равна

Вероятность отказа любого устройства зависит от срока его службы, однако в течение конкретного отрезка времени, например, суток, отказ может произойти с равной вероятностью в любое время.

Нормальное распределение.

Случайная величина называется распределенной нормально, если плотность вероятности , где m_x и  - параметры распределения. Функция f(x) представляет собой колоколообразную кривую (рис.1.4).

Параметр m_x - точка максимума, через которую проходит ось симметрии, параметр  - расстояние от этой точки до точки перегиба.

Массу вагона с хорошим приближением можно рассматривать как нормально распределенную величину. При этом параметр m_x равен средней массе вагона, а параметр  зависит от структуры грузопотока.

Рис. 1.4 Нормальное распределение.

Экспоненциальное распределение.

Случайная величина называется экспоненциально распределенной, если плотность ее вероятности (рис.1.5)

Рис. 1.5 Экспоненциальное распределение.

Число  называется параметром распределения.

Длительность службы любого устройства можно рассматривать с хорошим приближением как экспоненциально распределенную величину.