2.2Целевая функция. Ограничения

Принимать решения приходится постоянно во всех областях. В тех случаях, когда си­туация, в которой они рассматриваются, очень сложна, принимаемые решения будут оказы­вать большое влияние, важно, чтобы они были выбраны правильно. При выборе решения весьма полезным может быть использование математического аппарата.

Формулировка основной математической задачи оптимизации:

требуется найти такие значения n переменных X=x₁,x₂,...x_n, при которых значение функции F(X) будет наибольшим или наименьшим из возможных. Переменные x₁,x₂,...x_n называются искомыми или управ­ляемыми переменными. Функция F(X) называется целевой функцией. Целевая функция может быть максимизируемой или минимизируемой (максимизация прибыли, минимизация затрат).

Задача максимизации соответствует минимизации целевой функции .

Кроме того, существуют (или могут существовать) определенные соотношения между управляемыми переменными и/или эти переменные (или функции от них) должны удовле­творять некоторым неравенствам или равенствам. Они называются ограничениями:

G(X) = g_i(x₁,x₂,...x_n) < , = , > 0; i = 1,...m, где m - число ограничений.

Таким образом, задача оптимизации формулируется так:

при ограничениях G(X) < , = , > 0.

Каждое значение Х является решением задачи. Если решение удовлетворяет ограни­чениям, оно называется допустимым. То решение, которое удовлетворяет ограничениям и дает минимальное или максимальное значение целевой функции называется оптимальным.

Выбор целевой функции, управляемых переменных и ограничений составляет наибо­лее существенную часть оптимизационной задачи.

Простейшая задача: оптимизация функции одного переменного без ограничений - . Необходимым условием наличия минимума в точке х* является равенство нулю первой производной F по х в этой точке: Данное уравнение определяет необ­ходимое условие минимума, но не является достаточным условием. Точка х* является точкой минимума, если вторая производная .

Минимум определяется как решение, для которого значение целевой функции строго меньше, чем ее значения для любого решения из окрестности точки минимума. Такой мини­мум называется локальным.

Целевая функция может иметь несколько минимумов. Наименьшее значение функции достигается в точке глобального минимума. Глобальный минимум есть минимум из всех ло­кальных минимумов. На рис.2.1 локальные минимумы функции достигаются в точках А и В, причем в точке А достигается глобальный минимум.

Рис. 2.27 Многоэкстремальная функция

Есть два особых и важных вида функций: выпуклые и вогнутые (рис. 2.2). У выпуклых функций вторая производная всегда неотрицательная и, если выпуклая функция имеет ло­кальный минимум, он же является и глобальным. У вогнутых функций вторая производная всегда отрицательная и, если такая функция имеет локальный максимум, он же является и глобальным. Для строго выпуклых и вогнутых функций существует единственное опти­мальное решение. Сумма строго выпуклых или строго вогнутых функций есть также строго вогнутая или строго выпуклая функция, имеющая единственное оптимальное решение.

Рис. 2.28 Выпуклая и вогнутая функции.

Пример: площадь поперечного сечения земляного полотна в выемках и насыпях - строго выпуклая функция - при увеличении высоты насыпи или глубины выемки площадь сечения всегда увеличивается. Объем земляных работ равен сумме объемов земляных работ в зоне каждого поперечника (произведение площади сечения на длину зоны): - сумме строго выпуклых функций. Следовательно, функция, определяющая объем земляных работ является строго выпуклой, имеет единственное оптимальное решение (минимум профильного объема земляных работ), которое может быть определено математическими методами.

Все известные системы автоматизированного проектирования трассы желез­ных и автомобильных дорог позволяют решить данную задачу.