2.8Графы

В математике существует раздел – теория графов, особенность которого – геометрический подход к изучению объектов и формализованных задач. Основное понятие теории – граф – задается множеством вершин (точек) и множеством ребер (связей), соединяющих вершины графа. Когда ребро ориентировано (имеет направление) оно называется дугой (рис. 2.16). Существует ряд задач, решение которых можно реализовать при помощи теории графов.

В качестве вершин графа могут выступать реальные объекты: города, железнодорожные станции, предприятия, склады и т.п. Ребра графа в этом случае показывают возможные связи между объектами: существующие железные и автомобильные дороги, торговые связи между предприятиями, складами и т.п.

Вершинами графа могут быть различные состояния одной и той же системы, например, техническое состояние железнодорожной линии (однопутная, однопутная с двухпутными вставками, двухпутная). Ребра – возможные переходы между состояниями: строительство двухпутных вставок или вторых путей.

В зависимости от вида критерия, использующегося при решении задачи, ребра графа могут соответствовать некоторые характеристики: расстояние между объектами, время движения или длительность процесса, стоимость перехода из одного состояния в другое, надежность работы системы, количество потребной энергии и др. Формально ребру графа присваивается некоторая длина, соответствующая этой характеристике.

Решение большинства задач с помощью графа сводится к нахождению оптимального пути. Под оптимальностью может пониматься соответствие пути определенным требованиям. Это может быть кратчайший путь между двумя вершинами графа, критический (самый длинный) путь или путь, обязательно включающий проход через определенные вершины графа.

Задача о кратчайшем пути сводится к определению таких путей в графе, следуя которым можно попасть из начального узла в конечный при минимальных затратах (за минимальное время или за минимальную стоимость). При этом критерием оптимальности является минимум суммы длин отдельных дуг.

Одна из наиболее важных задач современной системы планирования и управления состоит в определении критических путей, то есть последовательности отдельных работ, ограничивающих время выполнения работы в целом по некоторому фактору (критерию). Задача отыскания критического пути сводится к выбору пути наибольшей длины. Эта задача эквивалентна задаче о кратчайшем пути при замене критерия оптимальности с минимума на максимум.

В задаче о наиболее надежных путях требуется найти путь в графе, вероятность сохранения которого наибольшая. В этой задаче каждая связь в графе характеризуется вероятностью ее сохранения. Критерием оптимальности в этом случае служит максимум произведения длин отдельных связей.

К отдельному классу задач относится «задача о коммивояжере», в которой требуется определить оптимальный маршрут движения коммивояжера, цель которого состоит в том, чтобы посетить все нужные ему объекты (вершины графа) за кратчайший срок с наименьшими затратами. Если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число путей, проходящих через все вершины, равно