- •1. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.
- •2. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •3. Поняття фундамент послідов.Фундаментальність збіж послідов.
- •4. Єдиність границі послідовності.
- •5. Перехід до границі послідовності у нерівностях.
- •6. Монот послідовності. Ознака збіжності монотонної послідовності.
- •7.Теореми про границю суми, добутку, віднош чп.
- •8. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •9. Число як границя збіжної монотонної послідовності.
- •11. Озн. За Гейне границі ф-ї. Точка дотикання множини
- •12. Властивості границь функцій.
- •13. Нескінченно малі функції.
- •14. Порівняння функцій в околі заданої точки. Символи Ландау.
- •15. Критерій Коші існування границі функції.
- •16. Границі монотонних функцій.
- •17. Перша чудова границя.
- •24. Друга чудова границя.
- •19. Еквівалентні функції.
- •20. Поняття неперервності функції в точці. Одностороння непер-сть.
- •21.Різні форми запису неперервності функції в точці.
- •22. Неперервність оберненої функції.
- •23. Теорема Вейєрштраса про неперервну на відрізку функцію
- •24. Теорема Больцано-Коші.
- •25.Поняття похідної. Геометричний, механічний та ек зміст похідної
- •26.Зв'язок неперервності та диференційованості.
- •27.Необхідна та достатня умова диференційованості ф-ї.
- •28.Поняття диференціалу.Геометрич та механіч зміст диференціалу.
- •31.Похідна оберненої функції.
- •32.Власт диференціалу.Інваріантність форми і-го диференціалу.
- •33.Похідні основних елементарних функцій
- •34.Похідні вищих порядків, їх властивості.
- •35.Диференціали вищих порядків, їх властивості.
- •36.Теорема Ферма.
- •37.Теорема Ролля. Її геометричний зміст.
- •38.Теорема Лагранжа про скінченний приріст, її геометричний зміст.
- •39.Теорема Коші про середнє значення.
- •40. Перше правило Лопіталя.
- •41.Формула Тейлора та Маклорена з залишковим членом у формі Пеано.
- •42.Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
- •43.Необхідна та достатня умова монотонності функції на інтервалі.
- •44. Екстремум функції. Необхідна умова внутрішнього локального екстремуму
- •45. Достатні умови екстремуму (використ першої похідної).
- •46.Достатні умови екстремуму (використання похідних вищих порядків). __
- •47.Опуклість функції. Геометричне визначення за допомогою хорд.
- •48.Необхідні та достатні умови опуклості функції.
- •49.Поняття точки перегину. Необхідні умови точки перегину.
- •50.Достатні умови точки перегину.
- •51.Поняття асимптоти. Визначення параметрів похилої асимптоти.
- •52.Лема про функції, що мають однакові похідні на інтервалі. Поняття первісної функції. Поняття невизначеного інтегралу, його властивості. Таблиця інтегралів.
- •53.Заміна змінної у невизначеному інтегралі та інтегрування частинами.
- •54.Інтегрування раціональних дробів.
- •55.Інтегрування тригонометричних виразів, універсальна тригонометрична підстановка.
- •56.Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій.
- •57.Поняття інтегральної суми. Поняття визначеного інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегрованості функції за Ріманом.
- •58.Поняття верхньої та нижньої сум Дарбу. Вла-сті сум Дарбу. Формулювання критерію інтегрованості.Приклади застосування.
- •59. Поняття рівномірно неперервної функції. Формолювання теореми Кантора про рівномірну неперервність непер ф-ції. Інтегрованість непер ф-ції.
- •60. Інтегрованість ф-ції, монотонної на відрізку. Інтегрованість обмеженої ф-ції, що має скінчену к-сть точок розриву.
- •61. Властивості визн інтегралу, що пов’язані з підінтегральною ф-цією, з відрізком інтегрування і визн нерівностями.
- •62. Теореми про середнє значення інтеграла Рімана.
- •63. Неперервна залежність визначеного інтегралу від змінної верхньої границі. Похідна інтегралу по змінній границі. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •64. Заміна змінної у визначеному інтегралі, її геометричний зміст.
- •65. Формула інтегрування частинами для визначеного інтегралу.
- •66. Поняття площі плоскої фігури.
- •67. Критерій квадровності плоскої фігури. Приклад необмеженої фігури скінченної площі.
- •68. Обчислення площ і довжин дуг кривих. Обчислення об’ємів просторових фігур.
- •69. Невласні інтеграли першого і другого роду. Критерій Коші збіжності невласного інтегралу.
- •70. Невласні інтеграли від невід’ємних ф-цій.
- •71.Абсолютно і умовно збіжні невласні інтеграли. Приклади.
- •72. Ознаки збіжності та розбіжності невласних інтегралів. Еталонні інтеграли.
- •73. Ознаки Діріхле та Абеля збіжності невл інтеграла.
34.Похідні вищих порядків, їх властивості.
Нехай ф-я y=f(x) диференц в О(х0) у'=f ' (x), хєО(х0).
Якщо скінченна похідна (у')', то вона називається похідною 2-го порядку (2-гою похідною) ф-ї f(x).
Позначається: у'' (у')'.
Введемо поняття похідної n-го порядку –похідної від похідної (n-1)порядку: у(n) (y(n-1))'.
Методика обчислення похідних вищих порядків передбачає знання обчислення лише похідної 1-го порядку.Для прикладу знайдемо похідну n-го порядку ф-ї у = хα (х > 0, α — б-я вещественное число). Послідовно диференціюючи, будемо мати:
y'= αхα-1; (у)'' = α(α - 1)хα-2; у(3) = α(α - 1)(α-2)хα-3 ,...
Звідси легко зрозуміти загальний закон:
(хα)(n) = α(α - 1)(α - 2)... (α - n + 1)хα-n.
Довед цього закону легко проводиться методом математичної індукції.
В частковому випадку а = m, де m — натуральне число, отримаємо
(хm)(m) = m!, (xm)(n) =0 при n>m.
Таким чином, n-на похідна многочлену m-го порядку при n>m рівна нулю.
Формула Лейбніца для n-ї похідної добутку 2-х ф-й. В той час,як встановлене раніше правило знаходж 1-ї похідної від суми чи різн 2-х ф-й (u±v)' = u' v' легко переноситься (по методу індукції) на випадок n-ї похідної (u± v)(n) = u(n)±v(n)виникають більші труднощі обчислення n-ї похідної від добутка 2-х ф-й uv.
Відповідне правило носить назву формули Лейбніца і має вигляд:
( 1).
Легко побачити закон, за яким побуд права ч-на формули (1): вона співпадає з формулою розкладу бінома (u+v)n, тільки замість степенів u i v стоять похідні відпов порядків. Ця схожість стає ще більш повною, якщо замість самих ф-й u i v писати відпов u(0) i v(0) (тобто якщо розглядати саму ф-ю як похідну нульового порядку).
Доведемо ф-лу Лейбніца методом індукції. При n=1 ця ф-ла приймає вигляд (uv)' = u'v + uv', що є справедливим правилом диференц добутку 2-х ф-й. Тому достатньо, припустивши справедл ф-ли(1)для деякого номера n, довести її справедл для наступ номера n+1. Отже, нехай для деякого номера n ф-ла (1) справедл. Продиференц цю ф-лу і об'єднаємо доданки, що стоять в правій ч-ні так, як це вказано нижче:
(2)
(При цьому ми скорист тим, що 1= ). Відома формула: .
Скорист цією ф-лою, можна переписати рівність (2):
.Тим самим доведена справедл ф-ли (1) для номера (n+1). Виведення ф-ли Лейбніца завершено.
35.Диференціали вищих порядків, їх властивості.
Озн.Диференц 2го порядку назив дифер від 1-го дифер,причому прирости аргумента беруться однакові.
Познач:d2y d(dy)
dy=y'xdx
d2y=d(y'xdx)=y''xdxdx=y''x(dx)2=y''dx2.
Отже, d2y=y''xdx2 y''x=d2y/dx2
dy=y'xdx2 y'x=dy/dx – для 1-го диференціала.
Озн.Диференц n-го порядку назив дифер від дифер (n-1)-го порядку; прирости аргумента ті самі:
dny=d(dn-1y).
Ф-ла: dny=y(n)xdxn(1)
Довед. При n=1 і n=2 ф-ла (1) справедлива. Припустимо, що ця ф-ла справедлива для деякого номера (n-1), тобто припустимо, що
dn-1y=y(n-1)xdxn-1.Тоді, згідно з визначенням dny, отримаємо
, тобто справедливість ф-ли (1) встановлено.
З ф-ли (1) випливає наступне: (1')
Важливо відмітити, що при n>1 ф-ли (1) і (1') справедливі лише тоді, коли х є незалежною змінною, тобто диференціали вищих порядків не мають властивості інваріантності форми.