40. Перше правило Лопіталя.

Розкриття невизначеності типу 0/0. Відношення 2-х ф-й f(x)/g(x) при х→а є невизначеністю типу 0/0, якщо

Розкрити невизн—знайти гранич знач (якщо це гранич знач ).

Теорема(правило Лопіталя). Нехай 2 ф-ї f(x) і g(x) визначені і диференц всюди в деякому околі т. а, за виключенням,можливо,самої т. а. Нехай, надалі, і g'(x)не=0 у вказаному вище околі т. а. Тоді,якщо (скінч або нескінч)гранич знач , то і гранич знач , причому справедлива ф-ла:

(1)

Теор(1) дає нам правило для розкриття невиз типу 0/0,що зводить обчисл гранич знач віднош 2-х ф-й до знаходж гранич знач віднош їх похідних.

Довед. Нехай {х_n} — будь-яка послід знач аргумента, що сходиться до а і склад з чисел, відмінних від а. Будемо розглядати цю послід, починаючи з того номера n, з якого всі х_n належать околу т. а, вказаної в теор. Доозна-чимо ф-ї f(x) и g(x) в т. а, визначивши їх =нулю в цій точці. Тоді f(x) і g(x) будуть неперерв на всьому сегменті [а, х_n] i диференц у всіх внутр точках цього сегменту. Крім того, g'(x)не=0 всюди всеред цього сегмента. Отже, для f(x) і g(x) на [а, х_n] викон всі умови теор Коші.Згідно з нею, всеред[а, х_n] знайдеться т. ξ_n така, що (2).Враховуючи,що f(a) = g(a) = 0, можна переписати ф-лу (2): (3).Нехай тепер в ф-лі (3) n→∞. Тоді ξ_n→а. Так як , то права ч-на (3) при n→∞ наближ до цього гранич знач. Отже, границя при n→∞ i лівої ч-ни (3). За визнач гранич знач ф-ї ця границя = . Таким чином, в границі при n→∞ рівність (3) переходить в рівність (1). Теорема доведена.

Зауваж1. Якщо до умов теор додати вимогу неперерв f'(x) і g'(x) в т. а,то при g'(a)не=0 ф-лу (1) можна переписати: .

Зауваж2. Якщо f'(x) і g'(x) задовільн ті ж умови, що і f(x) і g(x), то правило Лопіталя можна застосув повторно: .

Заув3.Теор діє у випадку,коли аргум х→ не до скінч,а до нескінч границі а =+∞ або а =-∞. Напр, якщо а=+∞: нехай 2 ф-ї f(x) и g(x) визнач і диференц всюди на півпрямій с < х < ∞. Нехай і g'(х)не=0 на даній півпрямій.Тоді, якщо ,то і , причому .

41.Формула Тейлора та Маклорена з залишковим членом у формі Пеано.

Формула Тейлора Теор.(теор Тейлора). Нехай ф-я f(x) має в деякому околі т. а похідну порядку n+1 (n – б-я фіксований номер). Нехай, х — б-я знач аргумента з вказаного околу, p —б-я додатнє число.Тоді між точками а і х знайдется точка ξ така, що справедлива наступна ф-ла:

(1)

де (2).

Фла (1) назив ф-лою Тейлора (з центром в т. а), а вираз R_n+1(x) назив залишковим членом. Залишк член може бути записаний не лише у вигляді (2), але і в других виглядах. Принято назив залишк член, запис у вигляді (2), залишк членом в загальній формі.

Довед. Позначимо φ(х, а) многочлен відносно х порядку n, так, що:

. (3)

Далі позначимо символом R_n+1(x) різницю (4)

Теор буде довед,якщо ми встановимо,що R_n+1(x) визнач за ф-лою (2).

Фіксуємо б-я знач х з околу, вказаного в формулюв теор. Будемо вваж, що х > а. Позначимо через t змінну велич, що є [а, х], і розглянемо допоміж ф-ю ψ(t) наступ вигляду: (5), де (6). Детальніше ψ(t) можна записати:

(7).

Наша ціль — виразити Q(x), виходячи з властивостей введеної нами ф-ї ψ(t). Покажемо, що ф-я ψ(t) задовольн на [а, х] всім вимогам теор Ролля.

З ф-ли (7) і з умов, накладених на ф-ю f(x), очевидно, що ф-я ψ(t) неперерв на [а,х] і диференц на цьому відр. Доведемо, що ψ(а) = ψ(х) = 0. Покладемо в (5) t = а і застосувавши (6), будемо мати:

Звідси, на осн (4) отримаємо =0. Рівність = 0 виплив з ф-ли (7). Отже, для ф-ї на [а, х] виконуються всі умови теор Ролля. На основі цієї теор всеред [а, х] знайдеться т. ξ така, що:

Знайдемо . Диференціюючи рівність (7), будемо мати

(9).

Легко бачити,що всі члени в правій ч-ні(9),за виключ останніх 2-х, взаємно знищуються. Таким чином, (10)

Прийнявши в ф-лі (10) t =ξ і використавши (8), отримаємо:

Cпівставивши(11) і (6), остаточно будемо мати:

. Теорема доведена.

Залишковий член в формі Пеано. Вище ми встановили ф-лу Тейлора з залишковим членом в загальній формі. Встановимо інші можливі представлення для залишкового члену. Розглянемо представлення залишкового члену у формі Пеано:

Нехай ф-я f(x) має похідні до порядку(n-1) в деякому околі т. а і похідну порядку n в самій т. а. Позначимо R_n+1(x) різницю ф-ї f(x) и многочлена (3) і доведемо, що для R_n+1(x) справедливо наступне:

Цю ост рівність і назив залишковим членом, представл в формі Пеано.Так як при зроблених нами припущеннях многочлен (6) і його похідні до порядку n включно співпад в т. х=а відповідно з ф-єю f(x) і її похідними, взятими в тій же т. х=а, то справедливі рівності:

і нам залишається довести, що з (13) виплив представлення (12). Для цього достатньо за допомогою (13) довести, що

. Так як кожна з ф-й R_n+1(x) і (х-а)ⁿ диференц (n-1) раз всюди в деякому околі т. а, справедливі рівності(13) і б-я похідна ф-ї (х-а)ⁿ

до порядкe (n-1) включно перетворюється в нуль тільки в т. а, то для розкриття невизначеності, в лівій ч-ні(14),можна(n-1)раз послідовно застос

теор Лопіталя, в рез-ті чого ми отримаємо:

Враховуючи (13), можна переписати (15) у вигляді:

Так як похідна існує і в силу останнього співвідношення (13) =0, то граничне знач в правій ч-ні останньої рівності існує і =0, що і завершує довед (14). Тим самим виведення представлення (12) завершено. Отже, запишемо повністю ф-лу Тейлора з залишковим членом в формі Пеано: