53.Заміна змінної у невизначеному інтегралі та інтегрування частинами.

метод підведення під знак диф.:з властивості інваріантності форми 1диф маємо f(x)dx=f(u)du,u=u(x) ∫f(x)dx=F(x)+C→∫f(u)du=F(u)+C. частиний випадок:нехай u=ax+в,а≠0 ∫f(ax+в)d(ax+в)=F(ax+в)+C ∫f(ax+в)dx=1/aF(ax+в) ∫x√ 2x²-1dx=d(2x²-1)=uxdx=1/u∫√2x-1²(uxdx)=1/u ∫√2x²-1*d(2x²-1)=1/u*(2x²-1)(в степені 2/3)+C=1/6(2x²-1)(в степені2/3)+C.

теорема:нехайF(x),u(t)визначені і непер на ∆х і∆α φ(∆α)с∆х.f(x)має перF(x)на∆х.φ(t)має непер похідну φ’(t)на ∆t→f(φ(t)) φ´(t) F(φ(t)) на∆t,причому ∫f(x)∫(внизу х=φ(t))=∫f’(φ(t))φ’(t)dt. формула інтегрування підстановкою: f(x)∆x φ(t)∆t y(∆t)’∆x→f(φ(t)∆t f(φ(t))φ’(t) має первісну F(φ(t)) (d/dt)F(φ(t))=F’(φ(t)-φ’(t)=f(φ(t)-φ’(t)

н.і. def→∫f(φ(t))-φ’(d)d(t)=F(φ(t))+C F(x)-пер F(x) def→∫f(x)dx=F(x)+C,x=φ(t) ∫f(x)dx)׀В нізу х=φ)=F(φ(t))+C/ зауваженнч:якщо за умови теореми приріст додатково до ф-ї х=φ(t)↑↑ то має місце формула інтегрування із заміною зміної.∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ’(t)dt.

54.Інтегрування раціональних дробів.

(Pn(x))/(Qm(x))може бути представлено у вигляді суми многочлена і правильного дробу, а прав можна однозначно розділити на суму елемент дробів.Позн:Qm(x)=x(в степені m)+в1x(в степені m-1)+…+в(внизу m-1)x+в(внизу m) (вєR i=1,n)=(x-α1)(в степені k1)…(x-αs) (в степені ks)(x²+p1x+q1) (в степені в1)…(x²+p(внизу r)*х+q(внизу r)(в степені в2) k1+…+k2+2L1+…+2L2=m.

Правило розкладання правильного дробу на елементарні:1) кожному множнику (х-α) (в степені k)в представлені знаменика qm(x)відповідає сума k елемент дробів 1-го і 2-го типів: A1/(x-α)+A2/(x-α)²+…+Ak/(x-α) (в степені k). 2)Кожному множнику(х²+px+q)

(в степені l)відповідає сума L елементарних дробів 3,4 типів: (B1=C1)/(x²+px+q)+(B2x+C2)/(x²+px+q)²+…+(Blx+Cl)/(x²+px+q) (в степені l)

Коефіцієнти Аi,Вj,Сj i=від1 до k; j=від1 до Lє невідомими і визначаються методом невідомих коефіцієнтів.Інтеграл від дробово-раціональної ф-ії=інт від многочлена та сумі інтегралів від елемент дробів: ∫(Adx)/(x-α)=Aln|x-α|+C;∫ ∫(Adx)/(x-α)(в степені k)=A(x-α)(в степені –k+1)/(-k+1)+C

55.Інтегрування тригонометричних виразів, універсальна тригонометрична підстановка.

∫R(sinx,cosx)dx,де R( , )-раціональна ф-ія двох змінних.Цей інтеграл зводиться до інтеграла від рац.дробу за допомогою універсальної підстановки:t=tg/2 x=2arctgt sin=(ctg(x/2))/(1+tg²x/2)=2t/(1+t²) cosx=(1-t²)/(1+t²) dx=(2dt)/(1+t²)

∫R((2t/(1+t²)*((1-t²)/(1+t²)))*(2dt)/(1+t²)/

В деяких випадках зручно робити інші заміни:1)∫R(cosx)sinxdx=-∫R(t)dt заміна t=cosx dt=-sinxdx. 2)∫R(sinx)cosx заміна t=sinx. 3)∫R(tgx)dx=∫R(t)dt/(|t|²) 4)∫R(sinx,cosx)dx², sinx,cosx-входятьв парних системах t=tgx 5)∫sin(в степені n)xcos(в степені m)xdx> :а)хочаб один з показників степені непарне число.Нехай m=2k+1 t=sinx dt=cosxdx тоді ≥∫t(в степені n)(1-t²)(в степені k)dt. б)m I n-не відємні парні числа, то застосовують формули зниження степеня. в)m i n-парні,принаймні одне з них відємне то застосовують заміну t=tgx.

6)∫cosm(в степені x)cosnxdx –застосовують формули тригонометрії добутку в суму.