16. Границі монотонних функцій.

Озн. ↑, х є Х↔ х₁,х₂ є Х: х₁<х₂ ( ≤

↓ ≥

↑↑, х є Х↔ х₁,х₂ є Х: х₁<х₂ ( <

↓↓ >

Озн. Верхньою(нижньою) межею ф-ції наз верхня(нижня) межа множини значень цієї ф-ції.

Позн. supf=supf(x), x X

=inf f(x), x X

Т. Нехай ф-ція . ↑((↓)) на Х. Нехай =іnfх, =supх ∉Х, ∉Х →існують скінчені або нескінчені визначеного знаку границі ф-ції при х→α справа та при х→ зліва.

При чому, =іnf f ((supf))

= supf ((іnf f))

Зауваж. Якщо обмежена зверху, то supf-скінчений і границя зліва скінчена. Якщо необмежена зверху, то supf- + і границя зліва-+

Якщо обмежена знизу, то границя справа скінчена, і якщо ні--

Довед. Нехай ↑, х є Х. позначимо b= supf(x)= supf єR

Доведемо, що = supf .

Виберемо довіл окіл т. b . Позначимо лівий кінець околу.

З оз-ня sup→ ξєХ(η<f(ξ)≤b)

ξ є Х → ξ≤ → ξ< ( ≠Х)→ х є Х(ξ<х< )

↑→η< f(ξ)≤ ≤b→ єО(b).

Для б-я околу т b(лівий кінець ε) існує окіл т. (лівий кінець т. ξ) такий, що для б-я х є О( ) Х→ єО(b)→ = supf

Наслідок. Нехай ф-ція . ↑((↓)) на інтервалі (а, b) та х_оє(а, b) . Тоді в т х_о ф-ція має скінчені, односторонні границі (х_о-0); (х_о+0);

х_о є(а, b) . Розіб’ємо проміжок- (а, х_о )( х_о ,b) . Беремо (а, х_о ): х_о = = supх=supf . ≤ , х≤х₀, отже існує скінчена границя.

17. Перша чудова границя.

Т еор1.

Довед

S_трикAOC<S_{сектора}АОС<S_трикAOB; 1/2R²sinx<1/2R²x<1/2R²tgx => sinx<x<tgx

Поділимо на sinx: sinx/sinx<x/sinx<tgx/sinx

1<x/sinx<1/cosx

Заув: x/sinx i 1/cosx– парні ф-ї,нерівн правил для ІVчв

cosx<sinx/x<1

Заув: - в силу неперервн косинуса

–лема про 2-х міліц(х→0=>cosx→1)

Наслідки:

1. 

2. 

3. 

24. Друга чудова границя.

Теор:

Наслідки:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

19. Еквівалентні функції.

Ф-ція f і g наз еквівалентними при х→х₀ якщо f-g =о(f) або о(g).

Позн. f(х) ~ g(х), х→х₀

f~ g, х→х₀

Доведення: f~ g якщо =1→ теорема про НМФ→ =1+α(х), х→х₀ → f(х) =φ(х)g(х)=(1+ α(х)) g(х)= g(х) + α(х)g(х)-- g(х) + о(g).

Пари еквів ф-й: х→0

sinx~x 1-cosx~1/2x² (1+x)^α-1~αx

tgx~x a^x-1~xlna

arcsin~x log_a(1+x) ~x/lna

arctgx~x ln(1+x) ~x

Т: для того, щоб ф-я f була еквів g, х→х₀ неох і дост щоб

f(х) = g(х) + о(g(х)), х→х_0.

Т2: Якщо ф-ція f~ f₁, g~ g₁, х→х₀ та та , то

Дов. О(х₀), φ(х), ψ(х)

х є Х О(х₀)

f(х) =φ(х)f₁(х), φ(х) 1

g(x) = ψ(х)g₁(x), ψ(х) 1

Тоді, = =

20. Поняття неперервності функції в точці. Одностороння непер-сть.

Озн. Ф-ція наз неперервн в т. х₀ є Х ↔ f(x₀)

Озн1. Ф-ція наз неперервн зліва(справа) в т. х₀ є Х ↔ f(x₀), х є Х_(х_о) (х є Х₊(х_о))

Теорема: Ф-ція неперервн в т. х₀ є Х тоді і тільки тоді

х є Х_(х_о) (х є Х₊(х_о)

Локальні властивості непер ф-цій:

1. Якщо неперервн в т. х_0, то О(x₀) що буде обмежена х Х О(x₀)

2. Якщо неперервн в т. х_0, f(x₀)≠0→ О(х_о) с>0 х Х О(x₀)

>c, f(x₀)>0 або <-c, f(x₀)<0.

3. Якщо = const→ неперервн в т. х₀ є Х

4. Якщо , g(x) неперервн в т. х₀ є Х→ , R

g(x), , g(x) ≠0 є не перерв в т х_о.