71.Абсолютно і умовно збіжні невласні інтеграли. Приклади.

Озн.: НВІ назив абсолютно збіжним, якщо є збіжним НВІ від модуля під інтеграл ф-ції dx

Т.: Якщо НВІ абсолютно збіжний, то він і просто збіжний.

Дов.: Нехай НВІ - абсолютно збіжний →(озн. Коші) ε >0 ή є [a,b) таке, що ^/, ^// є [ή,b) ( | dx|<ε.

| dx|, то за власт ВІ і НВІ:

| dx| ≤ | dx|< ε

Зауваж. З звичайної збіжності абсолютна збіжність не випливає.

Приклад: Доведемо, що є збіжним, але не є абсолютно збіжним.

В т. 0 особлив немає, бо = має розрив першого роду в т 0.

Розглянемо ≥ -

розбіжний збіжний за озн Діріхле

≥ sin²x = ( 1- ).

Отже, інтеграл розбіжний.

72. Ознаки збіжності та розбіжності невласних інтегралів. Еталонні інтеграли.

І) Нехай ф-ція f(x) визначена на х є [a,b]; Припустимо, що є [a,b] ф-ція f(x) інтегрована на [a, ] Тоді існує F( ) = dx і ця ф-ція є непер на [a,b)

НВІ ф-ції f(x) [a,b) наз границя dx = dx.

Якщо границя існує і скінчена, то НВІ наз збіжним(існує);

Якщо границя не існує або нескінчена, то НВІ не існує;

Якщо границя нескінчена, то НВІ наз розбіжним.

Визначений інтеграл є частинним випадком невласного інтегралу:

Якщо b є R, f(x) – інтегрована на [a,b] dx.-----ВІ.

F( )→ F( ),

Властивість НВІ: с є [a,b) dx = dx + dx

НВІ ВІ НВІ

НВІ зліва збіжний тоді, і тільки тоді, коли НВІ справа збіжний.

ІІ) Нехай визначена на проміжку (a,b], ξ є (a,b] інтегровна [ξ,b) НВІ на (a,b] наз границя = dx.

Якщо границя скінчена, то НВІ наз збіжним, якщо ні, то розбіжним.

Властивість НВІ: с є (a,b] dx = dx + dx

НВІ HВІ ВІ

ІІІ) Нехай визначена на проміжку (a,b), ξ, ή є (a,b], ξ<ή, с є (a,b) dx = dx + dx

НВІ НВІ

ІV) Нехай визначена на проміжку (a,b). Поначимо ∆ = {x_k, k = 0,n}- правильне розбиття інтервала (a,b) відносно функції , тобто

1) а=х₀< х₁<…< x_k … x_п=b

2) а = - → х₀=-

b=+ → х_n=+

3) f(x) інтегровн на б-я відрізку, що належить (a,b) та не містить точок з ∆.

НВІ f(x) на (a,b) наз dx = ,

де НВІ зліва збіжний, якщо всі НВІ справа збіжні. НВІ зліва розбіжний, якщо хоча б один НВІ справа розбіжний.

73. Ознаки Діріхле та Абеля збіжності невл інтеграла.

Ознака Діріхле збіжності невласного інтеграла.

Якщо при х є [a, + ) виконується

1) f(х) неперервна; F(х) обмежена

2) g(х) непер диферент, g(х)↓

3) =0

→→ -збіжний.

Теорема Абеля:

Якщо при х є [a, + ) виконується

1) f(х) неперервна, -збіжний

2) g(х) непер диферент, g(х) монотонна, g(х) обмежена, тоді

→→ -збіжний.