59. Поняття рівномірно неперервної функції. Формолювання теореми Кантора про рівномірну неперервність непер ф-ції. Інтегрованість непер ф-ції.
Т1: Ф-ція неперервна на відрізку –інтегровна на ньому.
Доведення спирається на теорему Кантора.
Якщо f(x) неперервна на [a,b] , то вона обмежена на відрізку [a,b].
f(x) неперервна на [a,b] → f(x) рівномірно неперервна на [a,b] ,
Т2: Ф-ція монотонна на відрізку- інтегрована на ньому.
Доведення……
Т3: Якщо ф-ція обмежена на відрізку та має на ньому не більше ніж зчисленну множину точок розриву, то ф-ція інтегрована на ньому.
Озн.: f(x) рівномірна неперервна на [a,b] ↔ ε>0 σ(ε) х, х/ є [a,b]
| х- х/ |< σ(ε)(| f(x) – f(х/ )|<ε)
60. Інтегрованість ф-ції, монотонної на відрізку. Інтегрованість обмеженої ф-ції, що має скінчену к-сть точок розриву.
Див 61.)))))))
61. Властивості визн інтегралу, що пов’язані з підінтегральною ф-цією, з відрізком інтегрування і визн нерівностями.
1)
=
b-a, f(x) =1, x є
[a,b]
(T)-розбиття [a,b]; λ(Т)- дрібність розбиття
S(T)= f(ξk)∆xk= ∆xk= b-a.
= b-a.
2) якщо ф-ція f інтегрована на відрізку [a,b], то вона інтегрована на б.-я. відрізку [α,β] є [a,b].
Позначимо (Т/) деяке розбиття [α,β], дрібність якого λ(Т/)
[x/j, x/j+1]- частинні відрізки розбиття., j=0, n/-1
Доповнимо це розбиття скінченою к-стю точок до утворення (Т) розбиття [a,b] з дрібністю λ(Т)= λ(Т/). Очевидно, що виконується:
0 ≤ ωj/(f)∆xj/ ≤ ωk(f)∆xk
[α,β] [a,b]
За наслідком з критерію інтегрованості ф-ції:f інтег-а на відрізку [a,b]→
ωk(f)∆xk →0, λ(Т) →0
ωj/(f)∆xj/→0, λ(Т/) →0----→ f інтегрована на відрізку [α,β].
3) Адитивність інтеграла по проміжку.
Якщо
ф-ція f
інтегрована на відрізку [a,b],
то число с довільне, a<c<b,
виконується:
=
+
c
Д
ов.:
f
інтегрна [a,b]
f
інтегрна [a,с],
[с,b]
/)
–розбиття
[a,с]
і
//)-розбиття
[с,b]
Позначимо:
(Т)=
/)
//)
- розбиття [a,b]
λ(Т/) ≤ λ(Т); λ(Т//) ≤ λ(Т) a b
S(T)= f(ξk)∆xk = S(T/)+ S(T//)
λ(Т) →0 ----→
=
=
.
Зауваження: Якщо f інтегров [a,с] і [с,b],то вона інтегрована на [a,b] і має місце дане співвідношення.
Озн-ня: Ф-ція f(х) наз кусково-неперервною на [a,b], якщо вона має лише скінчене число точок розриву першого роду, при чому на кінцях відрізків ф-я може бути невизначеною.
З
вла-сті 3 випливає інтегрованість
кусково-неперервн ф-ї f на [a,b], при чому:
=
fk(x)dx
a=x0<x1<…<xm=b – точки розриву першого роду.
f(xk+0), x=xk
fk(x) = f(x), xk< x < xk+1
f(xk+1 -0), x=xk+1
4) Лінійність інтеграла.
Якщо
ф-ції f
і g
інтегр на [a,b]
α,β
є R → αf(x)
+ βg(x)
інтегр на [a,b], при чому
(αf(x)
+ βg(x))dx=
α
f(x)dx
+ β
g(x)dx
Дов.: (Т) –розбиття [a,b]
S(T)= (αf(ξk)+βg(ξk)∆xk = αSf(T) + βSg(T), λ(Т) →0
→(αf
+ βg)
інтегр на [a,b], λ(Т)
→0
5) Якщо ф-ції f і g інтегр на [a,b], то їх добуток теж інтегр на [a,b].
6) Інтегрування нерівностей
Якщо ф-ція f інтегр на [a,b], f(х)≥0, х є [a,b]→ ≥ 0
S(T)= f(ξk)∆xk ≥ 0→ ≥0 .
Зауваж.: Якщо f(х)>0 на [a,b], то ≥ 0
Наслідок1. Якщо ф-ції f і g інтегр на [a,b], f(х)≥ g(х), х є [a,b] →
≥
Наслідок2. Якщо f інтегр на [a,b] I m ≤ f(x) ≤ M, х є [a,b] →
m(b-a)≤ ≤ M(b-a)
7) Якщо f інтегр на [a,b], то і модуль f інтегр на [a,b] та викон:
≤
Зауваження: Якщо не вимагати а < b, то
≤ | |
Дов.: f інтегр на [a,b]→ f обмежена на [a,b] → |f| обмежена на [a,b]
||f(x)|-|f(x/)|| ≤ |f(x)-f(x/)| → (T) розбиття [a,b] ωк(|f|) = sup (|f(x)|-|f(x/)|) ≤
sup (f(x)-f(x/))= ωк(f), x, x/ є [xk, xk+1]
0 ≤ ωk(|f|)∆xk≤ ωk(f)∆xk → |f| - інтегр на [a,b].
|Sf(T)|=| f(ξk)∆xk|≤ |f(ξk)|∆xk= S|f|(T), λ(Т) →0.