- •1. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.
- •2. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •3. Поняття фундамент послідов.Фундаментальність збіж послідов.
- •4. Єдиність границі послідовності.
- •5. Перехід до границі послідовності у нерівностях.
- •6. Монот послідовності. Ознака збіжності монотонної послідовності.
- •7.Теореми про границю суми, добутку, віднош чп.
- •8. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •9. Число як границя збіжної монотонної послідовності.
- •11. Озн. За Гейне границі ф-ї. Точка дотикання множини
- •12. Властивості границь функцій.
- •13. Нескінченно малі функції.
- •14. Порівняння функцій в околі заданої точки. Символи Ландау.
- •15. Критерій Коші існування границі функції.
- •16. Границі монотонних функцій.
- •17. Перша чудова границя.
- •24. Друга чудова границя.
- •19. Еквівалентні функції.
- •20. Поняття неперервності функції в точці. Одностороння непер-сть.
- •21.Різні форми запису неперервності функції в точці.
- •22. Неперервність оберненої функції.
- •23. Теорема Вейєрштраса про неперервну на відрізку функцію
- •24. Теорема Больцано-Коші.
- •25.Поняття похідної. Геометричний, механічний та ек зміст похідної
- •26.Зв'язок неперервності та диференційованості.
- •27.Необхідна та достатня умова диференційованості ф-ї.
- •28.Поняття диференціалу.Геометрич та механіч зміст диференціалу.
- •31.Похідна оберненої функції.
- •32.Власт диференціалу.Інваріантність форми і-го диференціалу.
- •33.Похідні основних елементарних функцій
- •34.Похідні вищих порядків, їх властивості.
- •35.Диференціали вищих порядків, їх властивості.
- •36.Теорема Ферма.
- •37.Теорема Ролля. Її геометричний зміст.
- •38.Теорема Лагранжа про скінченний приріст, її геометричний зміст.
- •39.Теорема Коші про середнє значення.
- •40. Перше правило Лопіталя.
- •41.Формула Тейлора та Маклорена з залишковим членом у формі Пеано.
- •42.Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
- •43.Необхідна та достатня умова монотонності функції на інтервалі.
- •44. Екстремум функції. Необхідна умова внутрішнього локального екстремуму
- •45. Достатні умови екстремуму (використ першої похідної).
- •46.Достатні умови екстремуму (використання похідних вищих порядків). __
- •47.Опуклість функції. Геометричне визначення за допомогою хорд.
- •48.Необхідні та достатні умови опуклості функції.
- •49.Поняття точки перегину. Необхідні умови точки перегину.
- •50.Достатні умови точки перегину.
- •51.Поняття асимптоти. Визначення параметрів похилої асимптоти.
- •52.Лема про функції, що мають однакові похідні на інтервалі. Поняття первісної функції. Поняття невизначеного інтегралу, його властивості. Таблиця інтегралів.
- •53.Заміна змінної у невизначеному інтегралі та інтегрування частинами.
- •54.Інтегрування раціональних дробів.
- •55.Інтегрування тригонометричних виразів, універсальна тригонометрична підстановка.
- •56.Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій.
- •57.Поняття інтегральної суми. Поняття визначеного інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегрованості функції за Ріманом.
- •58.Поняття верхньої та нижньої сум Дарбу. Вла-сті сум Дарбу. Формулювання критерію інтегрованості.Приклади застосування.
- •59. Поняття рівномірно неперервної функції. Формолювання теореми Кантора про рівномірну неперервність непер ф-ції. Інтегрованість непер ф-ції.
- •60. Інтегрованість ф-ції, монотонної на відрізку. Інтегрованість обмеженої ф-ції, що має скінчену к-сть точок розриву.
- •61. Властивості визн інтегралу, що пов’язані з підінтегральною ф-цією, з відрізком інтегрування і визн нерівностями.
- •62. Теореми про середнє значення інтеграла Рімана.
- •63. Неперервна залежність визначеного інтегралу від змінної верхньої границі. Похідна інтегралу по змінній границі. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •64. Заміна змінної у визначеному інтегралі, її геометричний зміст.
- •65. Формула інтегрування частинами для визначеного інтегралу.
- •66. Поняття площі плоскої фігури.
- •67. Критерій квадровності плоскої фігури. Приклад необмеженої фігури скінченної площі.
- •68. Обчислення площ і довжин дуг кривих. Обчислення об’ємів просторових фігур.
- •69. Невласні інтеграли першого і другого роду. Критерій Коші збіжності невласного інтегралу.
- •70. Невласні інтеграли від невід’ємних ф-цій.
- •71.Абсолютно і умовно збіжні невласні інтеграли. Приклади.
- •72. Ознаки збіжності та розбіжності невласних інтегралів. Еталонні інтеграли.
- •73. Ознаки Діріхле та Абеля збіжності невл інтеграла.
44. Екстремум функції. Необхідна умова внутрішнього локального екстремуму
х0-т. локального екстремуму(max۷min)
існує О(х0) V х є Х∩О(х0) (f(х)<(>)f(х0))
∆у(х)>f(х)-f(х)
х0-строго лок max↔∆y(х0)<0
х0-строго лок min↔∆у(х0)>0
теор(необхідна умова лок екстремума)
якщо ф-ія задано в околі точки локального екстремума х0 то в цій точці похідна ф-ії або не існує або=0, наслідок теореми Ферма
45. Достатні умови екстремуму (використ першої похідної).
Теорема(достатня умова):нехай ф-ія f неперервна в деякому околі т.О(х0),х0-критична т.f(х). f(х)-диф О(х0) тоді якщо 1) f”(х)<0,х<х0; f”(х)<0 х>х0 →х0-строго max.
Дов:V х єО(х0) [х0,х],х>х0 f(х)-f(х0)=f ‘(ξ)(х-х0) ξ є(х0,х) ∆у>0 х0-строго лок min.
т. х0 наз точкою зростання ф-ії ф-ії f(х) якщо існує окіл т. х0 такий що f(х)-f(х0)<0, х<х0, f(х)-f(х0)>0,х>х0. х0 т. спадання якщо навпаки.
46.Достатні умови екстремуму (використання похідних вищих порядків). __
Теорема(достатні умови екстр):якщо f(х) n раз диф в т.х0 f(в степені k)(х0)=0,k=1,n-1
f(в степені n)(х0)≠0. n=2m, m є N→х0-т. локе кстремума f(х),
причому х0-лок max, якщо f(в степені 2m)(х0)<0
min,якщо f(в степені 2m)(х0)>0 n=2m-1
х0-не є т. екстремума ,х0-т. зростання ф-ії,якщо f(в степені 2m-1)(х0)>0,х0-точка спад (в степені 2m-1)(х0)<0. Скористаємося формулою Гейлора для f(х) вт.х0 f(х)>f(х0) f´(х0)(х-х0)+….+ f(в степені 2n-1)(х0) *(х-х0)(в степані n-1)+ f(в степені n)(х0)*(х-х0)(в степені n)+
(n-1)! n!
+О(х-хо).
∆у(х0)= f(в степені n)(х0) *∆х(в степені n)+О(∆х(в стені n)
n1
f(в степені n)(х0)≠0
О(∆х(в стені n))=О(f(в степені n)(х0)*∆х(в степені n)=α(∆х(в степені n)* (f(в степені
n!
n)(х0)*∆х(в степені n)
n!
Отже за знак прирісту ∆у суттєво впливає доданок(другий малий порівнянно з першим при ∆х→0 1)m=2m ∆х(в степені 2m)>0 f(в степені 2m)(х0)>(<)0→∆у(х0)>(<)0→х0-min(max)
2)n=2m-1 ∆х(в степені 2m-1) <(>)0→∆у(х0)-змінює знак точка росту(-;+)спад(+;-)
47.Опуклість функції. Геометричне визначення за допомогою хорд.
н ехай f(х) визначена на(а,в) Vх1,х2 є(0,в), х1<х2 А(х1,f(х1)) В(х2,f(х2))
АВ:у=f(х2)(х-х1)+f(х1)(х2-х)=І(х)
х2-х1.
Ф-ія f(x) наз.опуклою(угнутою) на (а,в) якщо f(х)≥(≤)І(х),Vх є(х1,х2)<(а,в)
опукла (гнута)якщо граф. ф-ії лежить не нижче(не вище) графіку січної АВ
зауваження: α1=(х2-х)/(х2-х1) α2=(х2-х)/(х2-х1) α1+α2=1 V α1,α2 є [0;1]
АВ: у=α1f(х1)+αf(х2) α1х1+α2х2=х f(х)=f(α1х+α2х)
f(х)-опукла(угнута)на(а;в)↔f(α1х1+α2х2)=α=f(х1)=α2f(х2)
V α1,α2 є[0;1]; α1+α2=1
Зауваження:f(х) строго опукла(угнута) якщо в замінити знак ≥на>(≤ на<).
теор(Достатні умови строгої опуклості):якщо друга похила ф-ії відємна(додатня) то ф-ія строго опукла(угнута) на усьому інтервалі.
48.Необхідні та достатні умови опуклості функції.
теор(достатні умови строгої опуклості): нехай ф-ія f має додатню(від суми) другу похідну,тоді V х0 є(а,в) всі точки (х,f(х)) графіки ф-ії f(х) лежать вище(нижче) дотичної проведеної до графіка у>f(х) в т.(х0,f(х0)) крім самої цієї точки.
теор(необхідні і достатні умови опуклості):ф-ія опукла(угнута) на(а,в)↔коли її 1 похідна монотонно спадає(зростає)на(а,в).