Малая выборка

Под малой выборкой понимается несплошное обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности.

( n30, может доходить до 4-5). Средняя ошибка малой выборки вычисляется по формуле:

, где - дисперсия малой выборки;

Предельная ошибка малой выборки

где t - коэффициента доверия, определяемый по закону распределения Стьюдента (1908 г. английским математиком У. Госсетом), в зависимости от уровня значимости 0,05 или 0,01 и численности выборки n.

Графически распределение Стьюдента имеет вид одновершинной кривой, которая симметрична относительно оси ординат и при увеличении объема выборки приближается к кривой нормального распределения.

При проведении малой выборки для определения предельной ошибки выборки используются следующие показания распределения Стьюдента.

n	t
	0,05	0,01
4	3,183	5,841
5	2,777	4,604
6	2,571	4,032
7	2,447	3,707
8	2,364	3,500
9	2,307	3,3546
10	2,263	3,250
15	2,119	2,910
20	2,08	2,832
25	2,056	2,779
30	2,042	2,75

При контрольной проверке качества поставленного в торговлю товара получены следующие данные о содержании влаги в пробах, %. По данным выборочного обследования необходимо установить с вероятностью 0,95, предел в котором находится средний процент содержания воды в данной партии товара.

Пробы xi		( )2	Пробы xi		( )2
4,3	0,2	0,04	3,9	-0,2	0,04
4,2	0,1	0,01	4,5	0,4	0,16
3,8	0,3	0,09	4,4	0,3	0,09
4,3	0,2	0,04	4,0	-0,1	0,01
3,7	-0,4	0,16	3,9	-0,2	0,04
			Итого 41,0	-	0,68

Находим среднюю пробу малой выборки

Далее определим дисперсию малой выборки

Средняя ошибка малой выборки равна

При n=10 и заданном уровне значимости =0,05 находим по таблице коэффициент доверия t = 2,263. Предельная ошибка малой выборки составит:

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии товара содержание воды находится в пределах:

2 т. е. в пределах от 3,9% до 4,3%.

Оптимальная численность выборки

Из формулы средней ошибки выборки мы видим, что она зависит от численности выборочной совокупности, причем эта зависимость обратно пропорциональна , т.е. при увеличении n в четыре раза, ее ошибка уменьшается вдвое. Определение необходимой численности выборки основывается на формуле предельной ошибки выборки, находим ,

Отсюда для повторного отбора необходимая численность выборки равна

Для расчета численности выборки для доли альтернативного признака в случае повторного отбора

Для бесповторного отбора

а) для доли альтернативного признака

б) для средней величины количественного признака