2.2 Геометрический метод решения

2.2.1 Для решения задачи 2.1.а) геометрическим методом необходимо представить её условия в виде системы уравнений, в которой через x_ij обозначены перевозки из пункта отправления A_i в пункт назначения B_j (i = 1, 2, j = 1, 2, 3):

Так как перевозки не могут быть отрицательны, то должны выполняться условия: любая перевозка больше или равна нулю. Стоимость плана при заданных стоимостях перевозок выражается формулой:

В качестве свободных переменных можно взять любые две переменные – например, x₁₁ и x₁₂. Тогда система уравнений примет вид:

(1)

a стоимость плана будет выражаться функцией двух переменных:

Условия накладывают ограничения на допустимые значения свободных переменных: , . Кроме того, базисные переменные также должны быть неотрицательны, что накладывает дополнительные ограничения, определяемые из системы уравнений (1):

Объединением этих условий будет система неравенств, задающая область допустимых решений (далее ОДР) задачи 2.1.а):

О

Рис. 1

ДР в координатной системе x₁₁Ox₁₂ изображена на рис. 1: для наглядности прямые, ограничивающие ОДР, снабжены подписями, поясняющими, какая именно из базисных переменных обращается в ноль на этой прямой, направление возрастания соответствующей переменной отмечено штриховкой, а ОДР выделена жирной линией.

Также на рис. 1 построена прямая w', соответствующая нулевому значению функции , а направление возрастания функции отмечено стрелками. Параллельным переносом прямой w' найдена точка M, принадлежащая ОДР и соответствующая минимальному значению функции w' (крайнее положение прямой после переноса показано штриховой линией). Значения переменных x_ij, соответствующие точке M, приводят также к наименьшему значению функции w среди всех допустимых решений:

x ₁₁ = 0, x₁₂ = 24, x₁₃ = 9, x₂₁ = 21, x₂₂ = 0, x₂₃ = 14,

w

Рис. 2

_min = 378 + 4 ∙ 0 + 2 ∙ 24 = 330 у.е.

Оптимальный план перевозок для задачи 2.1.а) показан на графе (рис. 2).

2.2.2 Ход решения остальных задач полностью повторяет решение задачи 2.1.а). Условия задачи 2.1.б), записанные в виде системы уравнений:

Стоимость плана перевозок:

Базисные переменные и стоимость плана, выраженные через x₁₁ и x₁₂:

Неравенства, определяющие ОДР:

Рис. 3

ОДР изображена на рис. 3. Тем же способом, что и в предыдущей задаче, найдена точка M, соответствующая минимуму функции w:

x ₁₁ = 8, x₁₂ = 0, x₁₃ = 25, x₂₁ = 14, x₂₂ = 21, x₂₃ = 0,

w_min = 320 + 2 ∙ 8 + 3 ∙ 0 = 336 у.е.

Оптимальный план перевозок для задачи 2.1.б) показан на графе (рис. 4).

Рис. 4

2.2.3 Условия задачи 2.1.в), записанные в виде системы уравнений:

Стоимость плана перевозок:

Базисные переменные и стоимость плана, выраженные через x₁₁ и x₁₂:

Неравенства, определяющие ОДР:

Геометрическое решение показано на рис. 5. Минимуму функции w соответствует точка M:

x₁₁ = 21, x₁₂ = 20, x₁₃ = 0, x₂₁ = 0, x₂₂ = 4, x₂₃ = 13,

w

Рис. 5

_min = 466 − 9 ∙ 21 − 2 ∙ 20 = 237 у.е.

О птимальный план перевозок для задачи 2.1.в) показан на графе (рис. 6).

2.2.4 Условия задачи 2.1.г), записанные в виде системы уравнений:

Рис. 6

Стоимость плана перевозок:

Базисные переменные и стоимость плана, выраженные через x₁₁ и x₁₂:

Н еравенства, определяющие ОДР:

Г

Рис. 7

еометрическое решение показано на рис. 7. В отличие от предыдущих задач, здесь прямая w' параллельна одной из сторон многоугольника, ограничивающего ОДР, поэтому минимальное значение функции w достигается в любой точке отрезка MN. Например, точке M соответствует решение:

x₁₁ = 5, x₁₂ = 21, x₁₃ = 15, x₂₁ = 17, x₂₂ = 0, x₂₃ = 0,

w_M = 221 + 4 ∙ 5 + 4 ∙ 21 = 325 у.е.

Т очке N соответствует решение:

x₁₁ = 22, x₁₂ = 4, x₁₃ = 15, x₂₁ = 0, x₂₂ = 17, x₂₃ = 0,

w_N = 221 + 4 ∙ 22 + 4 ∙ 4 = 325 у.е.

Т

Рис. 8

аким образом, любой из этих планов перевозок будет оптимальным. На рис. 8. показан план, соответствующий точке M.

Заключение

В заключение приведём сравнение опорных планов исходной задачи 4 х 6, полученных разными методами:

- метод северо-западного угла: Таблица 22

		Пункт назначения (ПН)															Запасы
		B1		B2		B3			B4		B5			B6			ai
Пункт отправления (ПО)	A1		9		7		4			6		5			2	33
		21		12
	A2		4		8		3			8		6			6	35
				12		18			5
	A3		3		7		9			7		8			7	41
									17		21			3
	A4		5		2		2			1		2			5	17
														17
Заявки	bj	21		24		18			22		21			20			126

w_сзу = 856 у.е.

- метод от минимальной стоимости: Таблица 23

		Пункт назначения (ПН)																Запасы
		B1			B2			B3			B4			B5		B6		ai
Пункт отправления (ПО)	A1		9			7			4			6			5		2	33
														13		20
	A2		4			8			3			8			6		6	35
					4			18			5			8
	A3		3			7			9			7			8		7	41
		21			20
	A4		5			2			2			1			2		5	17
											17
Заявки	bj	21			24			18			22			21		20		126

w_{мин.стоим.} = 499 у.е.

-

Метод Фогеля: Таблица 24

		Пункт назначения (ПН)													Запасы
		B1		B2			B3		B4		B5		B6		ai
Пункт отправления (ПО)	A1		9		7			4		6		5		2	33
				4					5		4		20
	A2		4		8			3		8		6		6	35
							18				17
	A3		3		7			9		7		8		7	41
		21		20
	A4		5		2			2		1		2		5	17
									17
Заявки	bj	21		24			18		22		21		20		126

w_Фог = 494 у.е.

Использование метода потенциалов (см. 1.5) подтверждает, что план, построенный по методу Фогеля, оптимален:

w_min = w_Фог = 494 у.е.

Результаты решения задач 2.1.а) – г) приведены на рис. 9:

а) б)

w_min = 330 у.е. w_min = 336 у.е.

в)

г)

Рис 9

w_min = 237 у.е. w_min = 325 у.е.

ПРИЛОЖЕНИЕ П.2. Метод потенциалов.(УТЗ)

Учебно-тренировочная задача Проверить решение на потенциальность

Таблица ____ Вариант транспортной задачи 4х6

			Пункт назначения (ПН)																		Запасы
			B1			B2			B3			B4			B5			B6				ai
Пункт отправления (ПО)		A1		5			3			9			3			8			5	33
		A2		2			1			3			3			8			9	26
		A3		7			3			3			7			1			7	28;
		A4		7			9			7			6			2			9	40
Заявки		bj	21			16			22			19			19			30				127

Таблица ____Результаты решения ТЗЛП 4х6

	Методом СЗУ	Wi	От MIN	Wi	По Фогелю	Wi
1	X11=21	105	X14=19	57	X14=3	9
2	X12=12	36	X16=14	70	X16=30	150
3	X22=4	4	X21=10	20	X21=16	32
4	X23=22	66	X22=16	16	X23=10	30
5	X34=19	133	X33=9	27	X32=16	48
6	X35=9	9	X35=19	19	X33=12	36
7	X45=10	20	X41=11	77	X41=5	35
8	X46=30	270	X43=13	91	X44=16	96
9			X46=16	144	X45=19	38
	Wi	643	Wi	521	Wi	474

Приложение П.3. Методические указания и

УТЗ к методу минимизации штрафов (по Фогелю)

При определении опорного плана транспортной задачи методом Фогеля (по минимуму штрафов) на каждой итерации по всем столбцам и по всем строкам последовательно находят и вычисляют разность между двумя минимальными тарифами (по каждой строке и по каждому столбцу отдельно). Эти разности записывают в специально отведенных для этого дополнительной строке и дополнительном столбце к исходной транспортной таблице.. Среди всех указанных разностей, записанных в дополнительных строке и столбце выбирают минимальную величину. В соответствующем по выбору фрагменту таблицы ( строке или столбце, где данная разность минимальна) определяют минимальный штраф, т.е. КЛЕТКУ с наименьшей удельной ценой транспортировки. Эту клетку заполняют перевозкой по максимально допустимой величине Х(i,j).Таким образом минимизируется штрафная функция ( штраф) на данном шаге итерации.

Если минимальный тариф одинаков для нескольких клеток данной строки (столбца), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными тарифами, находящимися в данном столбце (строке). Разности равные нулю не рассматриваются.

ПРИМЕРЫ в таблицах далее

Табл. 1.3.1 -КОММЕНТАРИЙ

Разность тарифов по строкам 1) 5-3=2

2) 6-1=5. 3) 2-1=1 4) 4-1=3

По столбцам 1) 3-1=2 2) 5-1=4

3) 4-1=3 4) 6-5=1

5) 5-1=4 6) 5-2=3

Наибольший штраф равен 5-ти за единицу груза (строка №2). Наименьшая цена перевозки в строке №2 равна 1 и достижима в столбце №3. Следовательно, величина штрафной функции минимальна при условии, если в клетку таблицы №23 поместить максимально допустимую перевозку, т.е. равную 18.

Запрос по столбцу №3 обнуляется…. И так далее (см.табл.)

Таблица 1.3.1 Первый этап минимизации штрафной функции

	B1		B2		B3		B4		B5		B6		ai	столбцы разностей
A1		3		5	*	5		6		5		5	29	2
A2		7		6	18	1		7		9		7	37; 19	5
A3		1		9	*	8		5		1		2	26	1
A4		9		1	*	4		8		1		7	30	3
bi	20		21		18: 0		26		16		21		122
Строки разностей	2		4		3		1		4		3			4
					-
					-
					-
					-
					-

Таблица 1.3.2.Второй этап минимизации штрафной функции...

	B1		B2		B3		B4		B5		B6		ai	столбцы разностей
A1		3	*	5	*	5		6		5		5	29	2	2
A2		7	*	6	18	1		7		9		7	27/9	5	1
A3		1	*	9	*	8		5		1		2	26	1	1
A4		9	21	1	*	4		8		1		7	30/9	3	3
bi	20		21		18		26		16		21		122
Строки разностей	2		4		3		1		4		3			5
	2		4		-		1		4		3				4
			-		-
			-		-
			-		-
			-		-

ЗАМЕЧАНИЕ Осталась задача размерности 4х4

Таблица 1.3.3.Третий этап минимизации штрафной функции..

	B1		B2			B3			B4			B5			B6			ai		столбцы разностей
A1		3	*	5	*		5			6			5			5	29		2		2		2
A2		7	*	6	18		1			7			9			7	37; 19		5		1		2
A3		1	*	9	*		8			5			1			2	26		1		1		1
A4	*	9	21	1	*		4	*		8	9		1	*		7	30/9/0		3		3		6		-		-		-
bi	20		21			18			26			16; 7			21			122
Строки разностей	2		4			3			1			4			3					5
	2		4			-			1			4			3							4
	2		-			-			1			4			3									6
			-			-
			-			-
			-			-

ЗАМЕЧАНИЕ Осталась задача размерности 3х4

Таблица 1.3.4

	B1		B2		B3		B4		B5		B6		ai	столбцы разностей
A1		3	*	5	*	5		6	*	5		5	29	2	2	2	2
A2		7	*	6	18	1		7	*	9		7	37/9	5	1	2	2
A3		1	*	9	*	8		5	7	1		2	26/19	1	1	1	1
A4	*	9	21	1	*	4	*	8	9	1	*	7	30/9/0	3	3	6	-	-	-
bi	20		21		18		26		16		21		122
Строки разностей	2		4		3		1		4		3
	2		4		-		1		4		3
	2		-		-		1		4		3
	2		-		-		1		4		3
			-		-				-
			-		-				-

Какая размерность у оставшейся задачи ? Покажите раскраской по аналогии с ранее выполненными этапами.

Таблица 1.3.5

	B1		B2			B3			B4			B5			B6			ai		столбцы разностей
A1		3		*	5		*	5			6		*	5			5		29		2		2		2		2		2
A2		7		*	6		18	1			7		*	9			7		37/9		5		1		2		2		0
A3		1		*	9		*	8			5		7	1		19	2		26/19/0		1		1		1		1		1		-
A4	*	9		21	1		*	4		*	8		9	1		*	7		30/9/0		3		3		6		-		-		-
bi	20		21/0			18/0			26			16/7/0			21/2			122
Строки разностей	2		4			3			1			4			3
	2		4			-			1			4			3
	2		-			-			1			4			3
	2		-			-			1			4			3
	2		-			-			1			-			3
			-			-						-

Указание Продолжайте раскраску транспортной таблицы

Таблица 1.3.6

	B1		B2		B3		B4		B5			B6			ai		столбцы разностей
A1		3	*	5	*	5		6	*	5			5	29/9/2/0		2		2		2		2		2		2
	20						7					2
A2	*	7	*	6		1		7	*	9	*		7	37/19/0		5		1		2		2		0		0
					18		19
A3	*	1	*	9	*	8	*	5		1			2	26/19/0		1		1		1		1		1		-
									7			19
A4	*	9		1	*	4	*	8		1	*		7	30/9/0		3		3		6		-		-		-
			21						9
bi	20/20		21/0		18/0		26/19/0		16/7/0			21/2/0			122
Строки разностей	2		4		3		1		4			3
	2		4		-		1		4			3
	2		-		-		1		4			3
	2		-		-		1		4			3
	2		-		-		1		-			3
	4		-		-		1		-			2

X₁₁=20; X₁₄=7; X₁₆=2; X₂₃=18; X₂₄=19; X₃₅=7; X₃₆=19; X₄₂=21; X₄₅=9

W= 3X₁₁ +6X₁₄ + 5X₁₆+1X₂₃ +7X₂₄ +7X₃₅ +2X₃₆+1 X₄₂+ 1X₄₅= 3*20+7*6+2*5+1*18+7*19+1*7+2*19+1*21+1*9=359

Таблица 1.3.7