- •Исследование операций
- •Часть1. Математическое программирование (Модели и методы решения задач транспортного типа)
- •Оглавление
- •1. Транспортная задача линейного программирования (тзлп) 4
- •Введение
- •1.Транспортная задача (тз) линейного программирования
- •1.1. Метод северо-западного угла (сзу)
- •1.1.1. Составление опорного плана тз по методу сзу
- •Исходная таблица для решения
- •Вторая итерация
- •Третья итерация и далее (см. По таблицам)
- •1.1.2. Представление результатов решения.
- •Метод «от минимума стоимости транспортировки»
- •1.2.1. Предпосылки для построения нового опорного плана
- •Исходная таблица данных для решения
- •Первая итерация
- •Вторая итерация
- •Третья итерация и далее….
- •1.2.2. Опорный план по методу «от минимума стоимости»
- •1.3. Метод Фогеля
- •1.3.1. Метод минимизации штрафов
- •1.3.2. Опорный план, полученный по методу Фогеля
- •1.4. Сравнение планов по критерию стоимости
- •1.5. Метод потенциалов
- •5.1. Исходные понятия и условия потенциальности плана
- •2. Основные свойства и модели линейного программирования
- •2.1. Граф-схема решения тзлп размерности 2х3
- •8 Алгебраическая модель решения задачи линейного программирования
- •Для поиска зависимых переменных
- •2.2. Геометрическая форма представления области и процесса решения
- •2.3. Свойства задач линейного программирования
- •3 Понятие о Симплекс-методе решения задачи линейного программирования
- •3.1. Иллюстрация процесса поиска решения
- •3.2. Алгебраическое решение
- •3.3. Табличный вариант замены переменных
- •6. Вентцель е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – м.: Советское радио, 2007-206 с..
- •Исследование операций Контрольная работа Вариант № 13
- •1 Решение транспортной задачи 4 х 6
- •1.1 Исходные данные
- •1.2 Построение опорного плана методом северо-западного угла
- •1.3 Построение опорного плана методом от минимума стоимостей
- •1.4 Построение опорного плана методом Фогеля
- •1.5 Использование метода потенциалов
- •2 Решение транспортной задачи 2х3
- •2.1 Формирование исходных данных
- •2.2 Геометрический метод решения
- •Итоговая таблица решения методом минимизации штрафов (модифицированный метод Фогеля)
- •План транспортировки по Фогелю
- •Затраты стоимостей по плану Фогеля (338 усл.Ед.)
3.3. Табличный вариант замены переменных
Замена переменных является типовой процедурой деятельности при решении задачи ЛП.
Рассмотрим процедуру замены на примере ограничений абстрактной системы уравнений, записанной в форме:
y1=b1+a11x1+a12x2; y2=b2+a21x1+a22x2; y3=b3+a31x1+a32x2; y4=b4+a41x1+a42x2; w= |
x3=y1; x4=y2; x5=y3; x6=y4 |
|
|
X= |
На примере замены x1 на y3 проследим ход решения задачи:
1) a31x1=y3–b3–a32x2=y3–(b3+a32x2).
2) x1=
3)
;
Далее по аналогии:
4) ;
;
Аналогия распространяется и на уравнение w:
.
Для замены переменных (при ручном пересчете или при использовании электронных таблиц) удобно использовать топологию табличного варианта представления процедуры замены.
С этой целью используют две одинаковые по форме таблицы:
таблицу исходных данных, в которую вносят и результаты промежуточных расчетов (табл. 2.1);
таблицу порожденных данных, которую готовят подобно исходной с учетом возможной последующей ее итерации (табл. 2.2).
Таблицы 2.1 и 2.2 по форме не имеют отличий. В табл. 2.1 вносят исходные данные в левом верхнем углу, а промежуточные данные помещаются в правый нижний угол.
В табл.2.2 в правом верхнем углу помещаются результаты замены переменных.
Решающий элемент находится на пересечении разрешающей строки (y3) и разрешающего столбца (x1) (в случае замены x1 на y3).
Подготовленная табл. 2.1 выполняет функции табл. 2.2 при необходимости продолжения операции замены для другой пары переменных.
Последовательность заполнения таблиц 2.1 и 2.2:
Заполнить шапку табл. 2.1, т.е. знаками переменных (X), постоянных (B) и w.
Заполнить шапку табл. 2.2 аналогично, поменяв местами xi и yj (в примере x1 на y3 и y3 на x3).
Заполнить табл. 2.1 исходными данными: {bj} и {aij}.
Найти в табл. 2.2 ячейку с разрешающим элементом: обратное значение разрешающего элемента () записать в нижней части ячейки в табл. 2.1 и в верхней части
Таблица 2.1
Исходные и промежуточные данные расчетов
X |
B |
x1 |
x2 |
||||
y1 |
b1– |
|
a11 |
|
a12– |
|
|
|
a11b3/a31 |
|
a11/a31 |
|
a11a32/a31 |
||
y2 |
b2– |
|
a21 |
|
a22– |
|
|
|
a21b3/a31 |
|
a21/a31 |
|
a21a32/a31 |
||
y3 |
b3 |
|
a31 |
|
a32 |
|
|
|
b3/a31 |
|
=1/a31 |
|
a32/a31 |
||
y4 |
b4– |
|
a41 |
|
a42– |
|
|
|
a41b3/a31 |
|
a41/a31 |
|
a41a32/a31 |
||
W |
0– |
|
1 |
|
2– |
|
|
|
0b3/a31 |
|
1/a31 |
|
1a32/a31 |
Таблица 2.2
Терминально порождаемое отображение при замене x1 на y3
X |
B |
y3 |
x2 |
y1 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
y4 |
|
|
|
W |
|
|
|
соответствующей по топологии ячейки в табл. 2.2 (a31=1/a31 – записать в табл. 2.1 и в табл. 2.2).
Уменьшить остальные элементы разрешающей строки на величину обратного элемента и записать их:
5.1) в нижнюю часть соответствующих ячеек в табл. 14.1 и в верхнюю часть ячеек в табл. 2.2 (вместо знака );
5.2) выделить найденные элементы в табл. 2.1 знаком порождения.
Умножить элементы разрешающей строки на значение «–» и произвести действия, аналогичные пункту 5.1.
Выделить верхние элементы в ячейках разрешающей строки (кроме разрешающего).
Заполнить нижние части оставшихся ячеек в табл. 2.1 произведением значений выделенных элементов соответствующей строки и столбца и выделенных элементов разрешающей строки (b3; a32).
В табл. 2.2 записать разности значений, стоящих в верхней и нижней частях ячеек.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью создания данного учебно-практического пособия является не описание достижений, полученных в вычислительной практике ЛП за последние сорок лет со времени создания симплекс-метода. Материалы по ЛП достаточно полно отражены в соответствующих источниках. Основу изложения составляет описание транспортной задачи линейного программирования (ТЗЛП), ее интерпретация и типовые варианты решений в различных базисных моделях, что позволяет реализовать принцип «спора моделей», обнаружить ряд изоморфизмов изучаемых моделей и выявить возможности их использования в других предметных областях. Основная цель – стимулировать познавательную деятельность обучаемого, реализуемую в системе ПРОМЕТЕЙ через её подсистемы, в частности «Форум» и «Библиотека»
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Shannon R.E., Biles W.E. The Utility of Certain Curriculum Topics to Operation Research Practitioners, Operation Research, v. 18, №4, Jul. Aug. 1970.
Панченко В. М. Теория систем: Учебное пособие. М: –МИРЭА (ТУ), 2005 – 128 с.
5. Клир Дж. Системология. Автоматизация решений системных задач. – М.: Радио и связь, 1990. – 540с.