1.3.2. Опорный план, полученный по методу Фогеля

План невырожденный, значения базовых переменных следующие (девять базовых переменных):

X₁₁=20, X₁₄=7, X₁₆=2, X₂₃=18, X₂₄=19, X₃₅=7, X₃₆=19, X₄₂=21, X₄₅=9

Стоимость плана равна 359 условных единиц:

W= 3X₁₁ +6X₁₄ + 5X₁₆+1X₂₃ +7X₂₄ +7X₃₅ +2X₃₆+1 X₄₂+ 1X₄₅= 3*20+7*6+2*5+1*18+7*19+1*7+2*19+1*21+1*9=359

1.4. Сравнение планов по критерию стоимости

Необходимо подсчитать суммарные затраты на транспортировку (значение целевой функции): W = f (x)= с_ijx_ij.

Для примеров, рассмотренных в 4.1-4.2, получуно:

• для плана, построенного по методу СЗУ:

W_СЗУ =502;

• для плана, построенного по методу от минимума стоимостей:

W_МС = 359.

• для плана, построенного по методу Фогеля тоже получили :

Wф = 359.

Лучшим считается опорный план с меньшей суммарной стоимостью перевозок. Это план, составленный по методу Фогеля по методу минимума стоимостей перевозок:

Wф=W_МС = 359<W_СЗУ =502.

1.5. Метод потенциалов

5.1. Исходные понятия и условия потенциальности плана

Для проверки плана на оптимальность можно применить метод потенциалов.

Для этого надо ввести так называемые псевдостоимости . Входящие в псевдостоимости величины  _iи  _jназывают потенциалами пунктов отправления (ПО) и пунктов назначения (ПН) транспортной таблицы. . Псевдостоимости потенциального плана обладают следующими свойствами:

при x_ij0 (базисные клетки); (5.1)

при x_ij= 0 (свободные клетки). (5.2)

Математически, псевдостоимости могут быть и отрицательными величинами.

Для транспортной задачи 4х6 введем величины псевдостоимостей (удельные значения) оценки запасов ₁, ₂, ₃, ₄, , и псевдостоимости (удельные значения) оценки заявок ₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆.

Запишем условия (5.1) для базисных клеток опорного плана, полученного по методу Фогеля:

Конкретизация условия (5.1) приведена в табл.5.2

Конкретизация условия (5.2) для свободных клеток сводится к системе уравнений:для случая потенциальности плана.

Система (5.1) состоит из 9 уравнений и содержит 10 переменных: . Поскольку число независимых переменных в данной системе равно 4 + 6  1 = 9, то одна переменная из множества  или  свободная. Пусть это будет ₁. Положив ₁=0, получим: ₁ = 0, ₂ = 0, ₃ =2, ₄ = 4, ₁  = –3,₂ =1, ₃ = 2,₄ = 1,₅ = 5,₆ = 4. Составим таблицу перевозок, соответствующую данному решению (табл. 5.1).

Таблица 5.1 (альфа и бета заменены знаками А иВ)

B1=3 B2=4 B3=0 B4=6 B5=4 B6=5 ai A1=0 3 5 5 6 5 5 29 20 (4<=5) (0<=5) 7 (4<=5) 2 A2=1 7 6 1 7 9 7 37 (4<=7) (5<=6) 18 19 (5<=9) (6<=7) A3=-3 1 9 8 5 1 2 26 (0<=1) (1<=9) (-3<=5) (3<=5) 7 19 A4=-3 9 1 4 8 1 7 30 (0<=9) 21 (-3<=4) (3<=8) 9 (2<=7) bi 20 21 18 26 16 21 122

В табл.5.1 в выделенных клетках (их девять) выполнено условие (5.1), это легко проверить, сложив найденные значения соответствующих величин А и В .

В свободных клетках требуемая система неравенств (5.2).

Следовательно, исследуемый план потенциален и не может быть улучшен, т.е. потенциальный план является планом и оптимальным.

На онове таблицы 5.1 можно составить оптимальные план со значениями множества Х: в базовых клетках, равных: X11=20, X14=7, X16=2, X23=18, X24=19, X35=7, X36=19, X42=21, X45=9, и оптимальных затратах, равных 359 усл.ед.: W= 3X11 +6X14 + 5X16+1X23 +7X24 +7X35 +2X36+1 X42+ 1X45= 3*20+7*6+2*5+1*18+7*19+1*7+2*19+1*21+1*9=359