3 Понятие о Симплекс-методе решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод представляет собой организацию процедуры поиска решения путём перемещения от опорной вершины, принадлежащей ОДР, к соседствующей с ней вершине в сторону оптимальной вершины путём одношаговых замен одной из свободных переменных на одну из базовых вплоть до выполнения критерия эффективности.

Само слово «симплекс» определяется как многогранник, выпуклая оболочка аффинно-независимых точек n-мерного пространства Давая геометрическую интерпретацию решения задачи ЛП, учитывается, что область допустимых решений –это многогранник. Название «симплекс-метод» указывает на связь теории многогранников с решением задачи линейного программирования.

3.1. Иллюстрация процесса поиска решения

Рис. 12.2 используем для иллюстрации симплекс-метода решения конкретной задачи линейного программирования.

Дано: ЗЛП в виде алгебраической модели системы уравнений ОДР:

– общее условие допустимости решений, где при x₁=x₂=0 имеем:

x₁=x₂=0; x₃=320; x₄=200; x₅=280; x₆=–100;

w=3820.

Точка (0, 0) не принадлежит области допустимых решений, , т.к. x₆<0 и равно –100 в точке (0,0) ,Начало координат на рис. 12.2 –точка (0, 0) не принадлежит области допустимых решений:

Для удобства анализа введём буквенное обозначение и представим рис. 12.4 в виде размеченной системы рис. 12.2.

Далее рассуждения ведутся согласно принятой разметке ОДР в симплексах ОДР.

Итак, чтобы получить допустимое решение необходимо из точки «0» перейти в одну из точек симплекса {A_i; B_i; или C_i}, где .

Задача в примере невырожденная, т.к. во всех точках симплекса только две свободные переменные равны нулю, а именно (см. рис. 12.1):

A₁: x₂=x₆=0;

A₂: x₁=x₆=0

B₁: x₂=x₄=0

B₂: x₁=x₅=0

C₁: x₃=x₄=0

C₂: x₃=x₅=0

Переход из точки «0», где x₁=x₂=0 в любую из точек {A₁; A₂; B₁; B₂} соответствует правилу замены одной свободной переменной на одну базовую.

На рис. 12.2 показаны возможные пути перехода при решении задачи ЛП, соответствующие замене одной свободной переменной на одну базовую.

Очевидно, имеется ряд допустимых маршрутов перехода из точки “0” в оптимальную точку (симплекс-вершину) :

1) ;

2)

3)

4) .

Из них самый короткий путь – через точки (0, В₁, ), самый долгий – через точки (0, А₂, В₂, С₂, ).

Заметим, что, если разметка конца стрелки совпадает с разметкой начала следующей по цепочке стрелки, то действует правило транзитивности, сокращающее путь на одну замену.

Визуализация процесса поиска позволяет при иллюстрации алгебраического алгоритма поиска решения по идее симплекс-метода наметить оптимальный маршрут решения задачи.

3.2. Алгебраическое решение

Рассмотрим логику алгебраического хода решения задачи, пролегающего через точки (0–А₁–В₁– ).

Поиск опорного решения

Т.к. решение в точке “0” недопустимо из-за отрицательности значений x₆= –100, напрашивается замена переменной x₁ на базовую переменную x₆или x₂на x₆.

С точки зрения алгебраических операций, замена переменных не представляет трудностей и требует только внимательных действий субъекта:

уравнение x₆=x₁ +x₂–100 перерешим относительно x₁:

x₁=x₆ –x₂+100.

Теперь свободными переменными стали x₂и x₆(см. точку B₁).

При x₂=x₆=0 базовая переменная x₁=100, и условие x₁0 выполняется.

В остальные уравнения подставим полученное значение x₁:

x₃=320– x₂–100– x₆– x₂=220– x₆;

x₄=200–100– x₆+ x₂=100– x₆+ x₂;

x₅=280– x₂;

w=3820–500–5 x₆+5 x₂–4 x₂=3320–5 x₆+ x₂ .

Опорное решение получено и равно:

x₆= x₂=0; x₁=100; x₃=220; x₄=100; x₅=280; w=3320.

Для минимизации w желательно значение x₆ сделать не только равным нулю, но и по возможности увеличить, поскольку значение –5x₆ вычитается из w=3820.

Вывод. Наличие отрицательных коэффициентов при свободных переменных в случае минимизации функции w указывает на неоптимальность данного решения.

Для анализа выпишем систему полученных уравнений:

x₁= x₆ – x₂+100;

x₃=220– x₃;

x₄=100– x₃+ x₂;

x₅=280– x₂;

w=3320– 5x₃+ x₂ .

Увеличение x₆ ограничено переменными x₃ и x₄, которые (при x₂=0) стремятся с ростом x₆ к уменьшению:

- при x₆=220 имеем x₃=0;

- при x₆=100 и x₂ =0 имеем x₄=0.

Следовательно, x₄ ограничивает рост x₆ раньше, чем x₃ (см. рис. 12.1). Путем замены x₄ на x₆ при x₂=0 критерий эффективности станет меньше на 500 усл. ед.: w(x₂;x₃)=3320–500=2820.

Переход из точки A₁B₁ очевиден и из рис. 2.1.

По аналогии проведем замену переменных x₆ на x₄:

x₆= 100–x₄ + x₄;

x₁=200– x₄;

x₃=120– x₂+ x₄;

x₅=280– x₂;

w=2820 + 5x₄– 4x₂ .

Далее по аналогии, чем больше x₂, тем лучше решение. Однако x₃ограничивает рост x₂значением x₂=120. При этом получаем от замены x₂ на x₃ выигрыш w= – 4120=480.

Проведем замену x₂ на x₃:

X₂= 120 + x₄ – x₃;

X₁=200– x₄;

X₅=160– x₄+ x₃;

x₃=220– x₃;

w=2380 + x₄+4 x₃=w_min..

Итак, решение достигнуто в точке x₃= x₄=0; x₁=200; x₂=180; x₅=160; x₆=220; w=2380.

Оно совпадает с результатами, полученными ранее в процессе применения других моделей.