11. Определение показателей качества переходного процесса скорректированной системы

По графику h(t) скорректированной системы (пример представлен на рис. 17) необходимо определить основные показатели качества переходного процесса скорректированной системы – время регулирования t_р, относительное перерегулирование σ, частоту колебаний ω (период колебаний Т), число колебаний N за время регулирования.

Рис. 17. Переходная функция скорректированной системы

Время регулирования t_р определяется длительностью переходного процесса. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, однако практически считают, что он заканчивается, как только отклонения регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать допустимых пределов ε. Обычно принимают . Временем регулирования характеризуют быстродействие системы. Однако иногда быстродействие характеризуют также временем t_у достижения переходной функцией первый раз нового установившегося значения или временем t_max достижения максимального значения h_max .

Перерегулирование Δh_max= h_max – h_уст, или выброс, представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения. Обычно первый максимум является наибольшим.

Относительное перерегулирование:

.

Время регулирования и перерегулирование (основные показатели переходного процесса) тесно связаны между собой. Перерегулирование появляется вследствие того, что система к новому установившемуся состоянию подходит с определенной скоростью, которая графически отображается тангенсом угла наклона касательной в точке А (см. рис. 17):

.

Чем больше эта скорость, тем дальше за новое установившееся положение «пройдет» систем, а по инерции. Для уменьшения перерегулирования необходимо снизить скорость, с которой система подходит к новому установившемуся состоянию. Это приводит к увеличению времени регулирования. Если система подходит к установившемуся состоянию с нулевой скоростью, то перерегулирования не происходит, но время регулирования значительно возрастает. Таким образом, отсутствие и слишком большое перерегулирование нежелательны. Поэтому перерегулирование допускают в пределах 20 – 30% установившегося значения. При этом число полуколебаний переходной функции равно двум-трем.

12. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Гурвица

Для определения устойчивости систем любого порядка применяют алгебраический критерий А. Гурвица: система будет устойчивой, если определитель Гурвица, все его диагональные миноры и первый коэффициент характеристического уравнения а₀ положительны:

а₀ >0; Δ₁>0; Δ₂>0;…; Δ_n>0.

Определитель Гурвица строят по коэффициентам характеристического уравнения:

.

Существует правило: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Максимальный индекс коэффициента n (n – порядок характеристического уравнения), минимальный нуль. Столбец заполняется до положенного числа n элементов нулями.

Номер диагонального минора определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляется данный минор.

Для рассматриваемого примера характеристическое уравнение имеет вид

.

Коэффициенты характеристического уравнения:

Δ₁= а₁; ; ;