13. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Михайлова

Для определения устойчивости систем по критерию А.В. Михайлова следует построить кривую, го­дограф Михайлова, т.е. годограф, который описывает на комплексной плоскости, вектор получаемый из вектора D(р) заменой р на jω (см. п. 8).

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: линейная система n-го порядка устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты ω от 0 до +∞ охватывает начало координат и проходит последовательно n квадрантов, повернувшись против часовой стрелки на угол , где n – порядок системы.

Годограф Михайлова строят обычно следующим образом:

1. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого полагают, что M(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в В(ω) частот, при которых происходит пересечение с вещественной осью.

2. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого полагают В(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в M(ω) частот, при которых происходит пересечение с мнимой осью.

Если система устойчива, то полученные частоты должны чередоваться: частоты с ве­щественной осью – ω₁, ω₃, ω₅ и т.д.; частоты пересечения с мнимой осью – ω₂, ω₄, ω₆ и т.д. Причем:

ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃ и т.д. (ω₁ < ω₂< ω₃ < ω₄ и т.д.).

Строим годограф Михайлова для рассматриваемого варианта. Характеристический полином D(jω) имеет вид (см. п. 8):

.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает вещественную ось. При этом M(ω)= 0.

;

ω₁ = 0 с^-1; ω₃ = 19,8 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₁ и ω₃ в B(ω):

В(ω₁) =136; В(ω₃) = -6032.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось. При этом B(ω)= 0.

Отбрасывая отрицательные значения корней уравнения (частот), получим:

ω₂ = 2,93 с^-1; ω₄ = 304 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₂ и ω₄ в M(ω):

M(ω₂) =393; M(ω₄) = -9,81·10⁶.

Подставив в M(ω) значения частот ω₂ и ω₄ найдем модули вектора D(jω) на этих час­тотах.

;

;

.

Т.к. ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃, то система должна быть устойчива. Годограф Михайлова представлен на рис. 18.

Рис. 18. Годограф Михайлова.

Имеем систему 4-го порядка. Годограф Михайлова охватывает начало координат и последовательно прохо­дит 4 квадранта, а вектор D(jω) поворачивается против часовой стрелки на угол 4π/2.

Следовательно, система устойчива.

14. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Найквиста

Критерий Г. Найквиста, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ).

Необходимая АФЧХ разомкнутой системы может быть получена следующим образом. В выражении передаточной функции разомкнутой системы W_ск(p) заменяют p на jω и получают уравнение АФЧХ разомкнутой системы W_ск(jω). Чтобы построить АФЧХ, необходимо представить ее состоящей из вещественной и мнимой частей:

,

затем, задаваясь значениями ω от 0 до ∞: ω=0, ω₁, ω₂,… необходимо найти точки [U(0);jV(0)]; [U(ω₁);jV(ω₁)];…, покоторым построить АФЧХ на комплексной плоскости.

Если система является астатической (имеет интегрирующие звенья), то ее АФЧХ начинается при ω=0 в бесконечности, поскольку в знаменателе амплитудно-фазовой функции W(jω) имеется множитель (jω)^r, где r – порядок астатизма.

Разомкнутая система может быть устойчивой и неустойчивой. Критерий Найквиста для первого случая формулируется так: если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами (-1, j0).

В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко вследствие простоты по­строения таких характеристик и определения по ним запаса устой­чивости. Согласно критерию Найквиста для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является невхождение в АФЧХ W(jω) точки (-1, j0). Последнее имеет место, если при частоте, на которой A(ω)=1, абсолютное значение фазы меньше π.

Применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть, что значению А=1 соответствует L=20lgA=0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАЧХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение -π, т. е. на частоте среза ω_c, фаза должна быть меньше -π.

Все рассмотренные критерии устойчивости оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью.