3. Построение лачх неизменяемой части системы

Построим ЛАЧХ неизме­няемой части проектируемой системы.

Передаточная функция неиз­меняемой части системы имеет вид:

.

Она может рассматриваться как результат последовательного соединения одного ин­тегрирующего звена с коэффициентом усиления k_н, и двух инерционных звеньев у которых коэффициент усиления k = 1. Постоянные времени инерционных звеньев Т_дв и Т_у.

Найдем W(jω) для каждого из этих звеньев:

Найдем АЧХ для каждого сомножителя.

; ; ;

;

ЛАЧХ неизменяемой части системы определяется выражением:

;

ЛАЧХ неизменяемой части системы состоит из 4-х прямых:

1. 20lgk — это прямая параллельная оси абсцисс.

2. -20lgω — это прямая, пересекающая ось абсцисс при ω = 1 и имеющая наклон к ней -20 дБ/дек.

3. — это ЛАЧХ инерционного звена при k = 1. Имеет две асимпто­ты: при 0 < ω <1/Т_дв — прямая совпадающая с осью абсцисс. При 1/Т_дв < ω < ∞ — прямая, имеющая наклон к оси абсцисс -20 дБ/дек. Частота сопряжения ω_с1 = 1/Т_дв.

4. — это ЛАЧХ инерционного звена при k = 1 и ω_с=1/Т_у.

Суммировав все эти прямые, получим ЛАЧХ для неизменяемой части системы. Полу­ченную кривую можно разделить на 3 части.

1. ω ≤ ω_{с дв}. Наклон определяется только интегрирующим звеном; он равен -20 дБ/дек.

2. ω_{с дв} ≤ ω < ω_{с у}. Наклон увеличивается в два раза и становится равным -40 дБ/дек, т.к. на частоте ω_{с дв} появляется наклонная прямая от инерционного звена 2 (Т_у < Т_дв и по­этому ω_{с дв} = 1/Т_дв меньше, чем ω_{с у} = 1/Т_у).

3. ω_{с у} ≤ ω < ∞. Наклон прямой становится равным -60 дБ/дек, т.к. с частоты ω_{с у} на­чинают работать три наклонные прямые.

Принцип построения ЛАЧХ проектируемой системы приведен на рис. 9.

Построим теперь ЛАЧХ неизменяемой части системы в масштабе (рис. 10).

Найдем сопрягающие частоты для инерционного звена представляющего магнитный усилитель инерционного звена, представляющего двигатель.

ω_{с дв} = 1/Т_дв = 1/0,115 = 8,71 с^-1;

ω_{с у} = 1/Т_у = 1/0,015 = 66,6 с^-1;

20lgk = 20lg136= 42,7 дБ.

Следовательно, кривая ЛАЧХ должна быть поднята над осью абсцисс на 42,7 дБ. Следовательно при ω = 1 значение ординаты ЛАЧХ будет равно 20lgk - 20lg1= 20lgk; 0 = 20lg136= 42,7 дБ.

Рис. 9. Построение ЛАЧХ проектируемой системы.

Наклон ЛАЧХ для диапазона частот ω ≤ ω_{с дв}, равен -20 дБ/дек. Если расположить ось ординат на 0,1 с^-1, а не на 0, пересечение с осью ординат будет на уровне 62,7 дБ.

На частоте ω_с1 = ω_{с дв} = 1/Т_дв = 1/0,115 = 8,71 с^-1 наклон ЛАЧХ увеличивается и равен -40 дБ/дек.

На частоте ω_с2 =ω_{с у} = 1/Т_у = 1/0,015 = 66,6 с^-1 наклон ЛАЧХ увеличивается до -60 дБ/дек. (на частоте ω_{с у} появляется вторая асимптота от инерционного звена Т_у).

Рис. 10. ЛАЧХ неизменяемой части системы, желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего звена

4. Построение желаемой лачх

Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится исходя из требований, предъявляемых к системе, и по основным показателям качества: требуемый коэффициент усиления (определяемый желаемой точностью ее работы); желаемый порядок астатизма системы (число интегрирующих звеньев или кратность нулевого корня в характеристическом урав­нении разомкнутой системы), допустимое время переходного процесса t_р, требуемый запас устойчивости по фазе (определяется величиной перерегулирования σ).

Желаемую ЛАЧХ (рис. 11) условно разделяют на 3 части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

1. Низкочастотная часть ЛАЧХ. Определяется требуемой точностью работы системы, а, следовательно, коэффициентом усиления системы в разомкнутом состоянии и порядком ее астатизма. Определяет работу системы в самой конечной фазе переходного процесса и в установившимся режиме.

Рис. 11. Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы.

Ч

Рис. 12. Низкочастотная часть ЛАЧХ.

астотный интервал низкочастотной части лежит от минимальных начальных частот до частоты первого сопряжения аппроксимируемой характеристики со среднечастотной частью. Низкочастотная характеристика проводится через точку а с ординатой 20lgk при ω = 1 (иногда сопрягающая частота оказывается меньше, чем ω = 1 и тогда низкочастот­ная часть переходит в среднечастотную раньше: точка b окажется выше точки a, но про­должение низкочастотной части все равно пройдет через точку а (см. рис. 12). Кончается низкочастотная часть в точке d. Наклон низкочастотного отрезка ЛАЧХ определяется величиной -20v дБ/дек, где v — порядок астатизма системы. Если коэффициент усиления разомкнутой системы удовлетворяет показателям качества, то низкочастотная часть же­лаемой ЛАЧХ совпадает с низкочастотной частью ЛАЧХ неизменяемой части системы. В нашем случае коэффициент усиления достаточен (это проверялось ранее) и L_н.низ(ω)= L_ж.низ(ω) (см. рис. 11); причем v = 1 и наклон низкочастотной части желае­мой ЛАЧХ -20 дБ/дек.

2. Среднечастотная часть ЛАЧХ. Является наиболее существенной частью, т.к. ее вид определяет в основном качество переходного процесса.

Рядом исследователей установлено, что при частоте среза (ω_ср – точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс) наклон характеристики должен быть -20 дБ/дек, а частота среза определяется временем переходного процесса t_р, и допустимым перерегулированием σ. Частота среза и время переходного процесса t_р связаны между собой следующим соотно­шением: , где коэффициент С выбирается в зависимости от допустимой величи­ны перерегулирования. Так, при допустимой величине перерегулирования σ = (15÷30)% выбирается С = 1,3÷2,5. Частоты сопряжения центрального отрезка среднечастотной части ЛАЧХ, пересекающего ось абс­цисс при частоте ω_ср с предыдущими и последующими отрезками, могут быть выбраны в соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 11, исходя из следующих соотно­шений: и

По другому способу рекомендуется определять конечные упомянутого центрального отрезка, так, чтобы при ординате L₁ (рис. 11) запас по фазе был не меньше 40°, что ус­танавливается по ЛФЧХ, а ордината определяющая запас по модулю в децибелах, выбира­ется в зависимости от допустимого перерегулирования σ. Наконец, величину центрального участка можно определять также по частотным ин­тервалам, так чтобы интервалы ω₂ – ω_ср и ω_ср – ω₃, были равны (0,5 ÷ 0,9) декады; здесь сле­дует брать интервал тем больше, чем более высокое качество требуется от переходного процесса.

Возможно, что при выборе сообразно с каждой из трех указанных рекомендаций зна­чения частот ω₂ и ω₃, будут получатся различными. В этом случае следует иметь в виду, что чем больше величина интервалов ω₂ – ω_ср и ω_ср – ω₃, тем быстрее затухает переходный процесс. Поэтому окончательный выбор этих интервалов должен быть согласован с требо­ваниями к переходному процессу.

Сопряжение центрального отрезка среднечастотной части ЛАЧХ с низкочастотной частью производится прямой с наклоном — (40÷60) дБ/дек.

3. Высокочастотная часть ЛАЧХ. В основном определяет незначительные быстро зату­хающие составляющие переходного процесса. Обычно при оценке работы системы этими составляющими можно пренебречь. Т.к. высокочастотная часть сравнительно мало влияет на вид переходного процесса, то чтобы не усложнять корректирующее устройство, она вы­бирается по возможности аналогичной ЛАЧХ исходной (некорректируемой) части систе­мы. Обычно ее наклон составляет — (40 ÷ 60) дБ/дек.

Построим теперь желаемую ЛАЧХ для рассматриваемой системы по заданным в рассматриваемым в примере значениям.

Даны в общем виде (числовые значения не нужны). Числовыми значениями воспользуемся, когда будем строить ЛАЧХ в масштабе.

Для построения L_ж(ω) надо знать частоту среза ω_ср, ко ординату определяющую положение точек b и с, коэффициент уси- ления разомкнутой нескорректированной системы и наличие аста- тизма у системы. Низкочастотная часть проводится через точку а с ординатой 20lgk, где k – коэффициент нескорректированной разо- мкнутой системы.

Характеристика L_ж в низкочастотной части совпадает с ЛАЧХ L_н(ω) для разомкнутой нескорректированной системы.

Самым важным участком среднечастотной части L_ж(ω) является прямолинейный участок b - с, который имеет наклон минус 20 дБ/де- к через точку оси абсцисс с координатой, соответствующей частоте среза ω_ср.

Значение ω_ср определяют по номограмме (рис. 13, а).

По заданному значению перерегулирования σ по кривой σ(P_max) номограммы определяют соответствующие значения P_max. Затем по значению P_max по кривой t_p(P_max) определяют значение Cπ/ω_ср . Это значение приравнивают заданному значению времени регулирования t_p и из полученного равенства определяют частоту среза . Это значение и наносят на характеристику (см. рис. 11).

Рис. 13. Номограммы для определения параметров среднечастотной части желаемой ЛАЧХ

Ордината L_M, при заданном значении перерегулирования σ опре- деляется по номограммам (рис. 13, б). Тем самым устанавливают положение точек b и с на желаемой характеристике. Затем точку b соединяют с низкочастотной частью L_н(ω) отрезком b – d имеющим наклон минус 40 дБ/дек. Это выполняют, предполагая что высо- кочастотная часть нескорректированной системы не влияет на пе- реходный процесс и поэтому может оставаться без изменений. Если же для соединения L_ж(ω) с высокочастотной частью L_н(ω) приходит- ся существенно сокращать участок L_ж(ω) с наклоном минус 20 дБ/дек, то такого соединения делать не следует. В этом случае желаемую характеристику от точки с продолжают вправо с накло- ном минус 40 или минус 60 дБ/дек. Такая ситуация возникает, когда от системы, содержащей элементы со значительными посто- янными времени, требуют сравнительно малого времени регулиро- вания.

Построим теперь желаемую ЛАЧХ в масштабе (рис. 10).

Заданы показатели качества регули- рования - длительность регулирования t_p=1,1 с и перерегули- рование σ=25%. Тогда по рис. 13, а при σ=25% определим P_max=1,17, t_p=2,8π/ω_ср . По выражению 2,8π/ω_ср=t_p=1,1 рассчита- ем частоту среза ω_ср=8 c^-1. Значение L_M=18 дБ определим по кривым (см. рис. 13) при полученном σ_max=1,17. Частота среза ω_ср и значение L_M определим ориентировочно. В данном случае значения ω_ср и ω_дв близки. Для упрощения дальнейших расчетов положим ω_ср=ω_дв=8,7 c^-1, т.е. проведем среднечастотную асим- птоту желаемой ЛАЧХ L_ж(ω) через точку ω_дв c наклоном ми- нус 20 дБ/дек, до пересечения с горизонтальными прямыми L_M выше и ниже оси абсцисс (см. точки b и с). Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной, прохо- дящей с наклоном минус 40дБ/дек в точке b. Высокочастотная асимптота в точке с совпадает с асимптотой неизменяемой ЛАЧХ, проходящей с наклоном минус 60 дБ/дек.