2.3.2. Двухпараметрическая модель Хольта

Простое экспоненциальное сглаживание временных рядов, содержащих устойчивый тренд, приводит к систематической ошибке, связанной с отставанием сглаженных значений от фактических уровней временного ряда. Для учета тренда в нестационарных рядах применяется специальное двухпараметрическое линейное экспоненциальное сглаживание [19, с. 416].

Двухпараметрический метод сглаживания Хольта включает два уравнения вида [11, с. 36; 19, с. 416].

, (16)

, (17)

где - сглаженное значение тренда прогнозируемого показателя на период ;

, , и , , - сглаживающие константы.

Уравнение (16) предназначено для сглаживания наблюдаемых значений временного ряда, а уравнение (17) – для сглаживания тренда данного временного ряда. Значения сглаживающих констант выбираются в следующих пределах: ; . Каждая новая оценка тренда в соответствии с (17) вычисляется как взвешенная сумма разности между последними двумя сглаженными значениями показателя (текущая оценка тренда) и предыдущей сглаженной оценкой тренда [19, с. 416].

Уравнение (17) позволяет значительно сократить влияние случайных возмущений на тренд с течением времени. Уравнения (16) и (17) используются м модели линейного экспоненциального прогнозирования Хольта. Прогноз на период ( ) равен текущей сглаженной величине плюс текущее сглаженное значение тренда, то есть [19, с. 416]

. (18)

Следовательно, двухпараметрическая модель Хольта является модификацией однопараметрической модели Брауна, где на каждом этапе не просто усредняются данные, а вычисляется трендовая составляющая, которая прибавляется к сглаживаемым данным [13, с. 114].

Процедура прогнозирования начинается с того, что сглаженная величина полагается равной , то есть [19, с. 416]. Определение начального значения тренда возможно тремя способами:

1. положить (такой подход хорошо работает в случае длинного исходного временного ряда; в этом случае сглаженный тренд за небольшое число периодов приблизится к фактическому значению тренда) [19, с. 416];

2. использовать в качестве оценки оценку параметра регрессии эмпирического уравнения парной линейной регрессии вида , найденную по первым пяти (или более) наблюдениям временного ряда [19, с. 416];

3. использовать в качестве оценки величину, равную

[11, с. 114].

Алгоритм прогнозирования с использованием модели Хольта включает следующую последовательность действий [13, с. 114]:

1. задание значений коэффициентов сглаживания и ;

2. вычисление начальных значений и ;

3. вычисление по формулам (16) и (17) последовательно для от 2 до пар значений и , причём сначала вычисляется , а затем ;

4. вычисление прогнозного значения по формуле (18).

2.3.3. Трехпараметрическая модель Хольта-Уинтерса

Экономические временные ряды содержат периодические сезонные колебания. В зависимости от характера этих колебаний временные ряды делят на два класса [6, с. 131]: мультипликативные и аддитивные. При мультипликативных сезонных колебаниях предполагается, что амплитуда колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда (текущему среднему уровню ряда). При аддитивном характере сезонности исходят из предположения о неизменности во времени, примерном постоянстве амплитуды периодических колебаний, ее независимости от уровня тренда. При этом для аддитивных колебаний характеристики сезонности измеряются в абсолютных величинах и отражаются в статистической модели в виде слагаемых, а для мультипликативных колебаний – в относительных величинах и представляются в моделях в виде сомножителей.

Поэтому экономические временные ряды, содержащие периодические сезонные колебания, могут быть описаны [6, с. 131] моделями как с аддитивным характером сезонности вида

так и с мультипликативным характером сезонности вида

,

где - характеристика тенденции развития;

- аддитивный сезонный фактор;

- мультипликативный сезонный фактор;

- число фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений , для квартальных );

- неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Можно получить множество адаптивных сезонных моделей прогноза, используя разные комбинации типов тенденций временного ряда в сочетании с сезонными эффектами аддитивного или мультипликативного вида. Выбор конкретной модели прогноза основывается на анализе характера динамики исследуемого процесса. К основным моделям прогноза сезонных явлений относятся:

1. трехпараметрическая модель Хольта-Уинтерса;

2. двухпараметрическая модель Хольта с гипотезой Тейла-Вейджа;

3. трехпараметрическая модель Бокса-Дженкинса.

При линейной тенденции развития процесса и при мультипликативном характере сезонного эффекта используется модель прогноза Хольта-Уинтерса, представляющая собой объединение двухпараметрической модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса.

Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на шагов вперед определяется выражением [6, с. 132; 19, с. 421-422]

, (19)

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

, (20)

, (21)

, (22)

, ,

где - сглаженное значение сезонного фактора;

- число периодов в году, характеризующих сезонность ( для квартальных данных, для месячных данных);

- сглаживающие константы.

Уравнение (20) сглаживает наблюдаемые уровни ряда, уравнение (21) – сезонный фактор, а уравнение (22) – тренд [19, с. 421].

Автор модели П. Уинтерс предлагал находить оптимальные значения для коэффициентов , и экспериментальным путем, перебирая возможные комбинации этих параметров на сетке возможных значений и используя в качестве критерия оптимальности среднюю квадратическую ошибку прогноза [6, с. 132-133]. Автор [12, с. 41] рекомендует следующие значения этих коэффициентов: ; ; .

В [19, с. 422] предложено два способа определения начальных значений , и .

Наиболее простой способ заключается в следующем:

1. положить начальные сезонные индексы за нулевой год (год, предшествующий прогнозному) равными 1 (например, при квартальных данных: );

2. положить ;

3. положить начальное сглаженное значение для 4-го квартала (12-го месяца) нулевого года равным фактическому значению для 4-го квартала (12-го месяца) первого года (или для 1-го квартала (1-го месяца) первого года); это значение также используется в качестве прогнозных значений для каждого из четырех кварталов (каждого из 12 месяцев первого года), то есть, например, для квартальных данных, .