Метод наименьших квадратов

Из рассмотренных выше мер распространение получила сумма квадратов, т.к. на её основе параметры тренда могут быть получены сравнительно (с методом математического программирования) легко – алгебраическим путём. Подобный расчет получил название метода наименьших (критерий) квадратов.

В соответствии с критерием, необходимом подобрать такие параметры тренда, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений трендовых значений от фактических.

По методу Лапласа, решение этой экстремальной задачи находится из системы уравнений. В данной системе приравнены к нулю все частные производные целевой функции по параметрам тренда.

, где a,b,c…- параметры тренда.

Система уравнений для линейного тренда

. Подставим уравнение прямой (с параметрами a,b) в функцию критерия:

Линейный тренд Критерий МНК Расписан квадрат Взяты и приравнены к 0 производные по параметрам

Т.о., для определения параметров тренда необходимо сосчитать четыре суммы , и, подставив их вместе с количеством известных наблюдений n в систему уравнений, решить её.

Система уравнений для экспоненциального тренда

Прежде чем подставить уравнение экспоненциальной функции (с параметрами a,b) в функцию критерия, прологарифмируем её:

Тем самым получена линейная зависимость

По методу МНК, будем минимизировать расхождения логарифмов:

Т.о., для определения параметров тренда необходимо сосчитать четыре суммы , и, подставив их вместе с количеством известных наблюдений n в систему уравнений, решить её.

Расчёт параметров тренда в MS Excel

табличным способом по системе уравнений МНК

по графику (опция «Добавить линию тренда»)

Рис. 21. МНК

Табличный способ дольше, но расчет тренда через график неточен (см. на погрешность коэффициентов - Рис. 2 1 ), а иногда и явно ошибочен.

Значения (без промежуточного расчета параметров) линейного тренда могут быть получены функциями ПРЕДСКАЗ и ТЕНДЕНЦИЯ (идентичны) (Рис. ).

Прогнозирование на основе тренда

Для [поискового] прогнозирования в уравнение тренда необходимо подставить номер прогнозного периода. При нормативном прогнозе требуется выяснить, какая из тенденций ряда позволит достичь цели.

Рис. 22. Использование функций Excel для расчёта линейного тренда и прогнозирования

Цель – заранее известное значение в прогнозном периоде. Т.о., мы имеем модифицированную разрывную базу (Рис. ). Подбирая линию тренда по общим принципам, получаем прогноз – часть тренда, соответствующая разрыву базы. (Прогноз – требуемая траектория движения).

Рис. 23 Нормативный прогноз

Из примера получается, что для достижения целевого дохода (20) на третий день необходимо реализовать постоянный прирост прироста (красный пунктир). Экспоненциального роста (зелёный пунктир) недостаточно. Конкретные значения прогноза можно рассчитать по полученной формуле.