Метод экспоненциального сглаживания и его использование в прогнозировании

Сглаживание по методу экспоненциально-взвешенного среднего ориентировано на устранение влияния случайных колебаний, как правило, в ряду без тренда, т.е. для выявления цикличности.

Сглаженный ряд рассчитывается по формуле:

Первое значение сглаженного ряда равно первому значению исходного. Последующие значения оцениваются как доля  влияния нового наблюдения + доля  совокупного влияния всех предыдущих наблюдений (представлением этого влияния является предыдущее значение сглаженного ряда)

 и  называются соответственно коэффициентами адаптации и затухания.

Итеративную формулу можно расписать подробнее для первых значений ряда:

В такой записи видно, что вес каждого наблюдения со временем уменьшается в  раз, т.е. затухает по экспоненте, что и дало название методу.

Выбор параметра сглаживания

Параметр  (или ) подбирается опытным путём. Как правило, наилучшие результаты при =0,3 (от 0,2 до 0,5)..

Очевидно, что при =0 сглаженный ряд есть константа – сглаживание негибкое;

при =1 сглаженный ряд есть исходный – сглаживания нет.

Рис.39. Экспоненциальное сглаживание

Прогнозирование на основе сглаживания

Из рисунка видно, что сглаженный ряд идет ниже исходного. Поэтому прогнозирование по тренду на основе сглаженного ряда неадекватно. Прогнозируются иногда колебательные ряды.

Однако, сглаживание можно использовать для определения типа тренда, т.к. тип у исходного и сглаженного рядов совпадает.

MS Excel использует в качестве параметра фактор затухания .

Расчёт параметров уравнения тренда

После того, как определён тип тренда, необходимо рассчитать его параметры. Т.е. из всех возможных линий данного типа выбрать наиболее похожую на исходный ряд. Существенную роль играет конкретизация «похожести» (критерий меры близости рядов). В зависимости от критерия находятся методы расчета параметров.

Иногда, для различных участков ряда строят свои тренды. Их согласование приводит к построению сплайн-функций.

Меры близости рядов

После того как определён вид уравнения тренда, необходимо определить (провести, построить) сам тренд, т.е. - определить его параметры. Из бесконечного множества трендов [определённого ранее вида] нужно выбрать тренд наипохожий на исходный ряд. Критерий выбора – минимизация расхождений [значений тренда и ряда]. Однако, что считать мерой близости (= расхождения)?.

Близость тренда к ряду в каждый из моментов времени можно оценить разницей значений в этот момент (чем меньше, тем лучше): . Но как оценить близость в целом (по всем наблюдениям) [на основе близости в каждый момент]?

Существует множество подходов в рамках т.н. «функций коллективного выбора» (см. Мулен Э. Кооперативное принятие решений), рассмотрим простейшие.

Оценка в целом (мера) близости может быть построена как:

максимум
сумма	расхождений по всем наблюдениям
произведение

При этом следует учитывать, что отклонение тренда от ряда в одну сторону, может компенсироваться удалением в другую сторону в другой момент. Для устранения этого в функции меры можно использовать вместо также модуль и квадрат: .

Из полученных 9 вариантов меры, применительно к критерию на min, здравы лишь 4 (а то и 2):

	Бессмысленно (тренд уходит вниз).	Неоднозначность решения
		Неоднозначность решения	Наиболее распространён
	Бессмысленно из-за множественности решений. Минимум (0) достигается любым трендом, совпадающим с рядом хотя бы в один момент.

(Меры на основе произведения применимы, если в качестве отклонения в момент времени принять не разницу , а отношение ).

Рисунок 20 демонстрирует, что [линейный] тренд можно построить по-разному. При этом тренд, параметры которого рассчитаны на основе минимизации максимального модуля, даёт особо отличный результат (расчет произведён методом математического программирования).

Рисунок 20 Влияние меры близости рядов на построение тренда

Т.о., результат прогнозирования существенно зависит от выбранной меры.

Меры на основе суммирования можно усовершенствовать, введя взвешивание. Вполне логично предположить, что более поздние наблюдения имеют для прогнозирования большее значение.