18. Линейное уравнение в пространстве. Общее уравнение плоскости; частные случаи.

Линейным уравнением относительно переменных x, y, z называется уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.

Теорема. Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением

и обратно, всякое линейное уравнение (3) определяет плоскость в пространстве.

Действительно, пусть в пространстве R³ задана плоскость (Р) (рис. 1).

Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

     1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

     3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

     4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

     5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

     6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

     7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

     8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

     9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

     10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

     11) z = 0 - плоскость Oxy;

     12) y = 0 - плоскость Oxz;

     13) x = 0 - плоскость Oyz.

21 Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где   — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где    - координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

22 Система двух линейных уравнений в пространстве. Общие уравнения прямой, приведение к каноническому виду (пример)

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

		A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы 

→

N

₁ = {A₁, B₁, C₁} и 

→

n

₂ = {A₂, B₂, C₂} неколлинеарны. Эта система уравнений называетсяобщими уравнениями прямой в пространстве.

Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям. Пусть уравнения плоскостей P₁ и P₂ заданы, тогда

определяет прямую линию, и систему (11) называют общим уравнением прямой линии.  Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R³. Очевидно, прямая линия будет полностью определена, если на ней фиксировать точку M₀(x₀, y₀, z₀) и вектор  ,параллельный этой прямой (рис. 2). Точку M₀ иногда называют начальной точкой, а вектор   - направляющим вектором прямой. Получим наиболее употребительные формы уравнения прямой в пространстве.  Пусть   - радиус-вектор начальной точки M₀,  - радиус-вектор текущей точки М прямой. Тогда вектор   коллинеарен направляющему вектору прямой  , следовательно,

где t - некоторое число, называемое параметром. Уравнение (12) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Если   то можно перейти от уравнения (12) к параметрическим уравнениям прямой в координатном виде:

Изменяя значения t, можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой. Из уравнений (13) получим:

Отсюда

Уравнения (14) называются каноническими уравнениями прямой.

Пример 1. Уравнение прямой задано в общем виде

Н еобходимо записать уравнение прямой в каноническом виде.

Решение. Для записи уравнений (14) нам нужно знать координаты какой-либо точки M₀на прямой и координаты какого-либо направляющего вектора   прямой. Находим координаты точки M₀(x₀, y₀, z₀). Для этого одну из координат задаем произвольно (так, чтобы оставшаяся система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение), скажем, z₀ = 0. После этого решаем систему относительно x₀ и y₀

Для определения вектора   нам нужны координаты еще одной точки M₁ на прямой (рис. 3), тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор 

Для вычисления координат M₁ берем, например z₁ = 1, а x₁и y₁ находим из решения системы

Тогда 

Канонические уравнения прямой имеют вид