7 Система линейных уравнений. Запись и решение в матричном виде.

АХ = В Х - неизвестно

А^-1АХ = А^-1В : А^-1А – матрица коэф-тов при неизвестных; В – матрица своб членов

Х = А^-1В (1)

УА = С У - неизвестно

УАА^-1 = СА^-1 АА^-1 – Е

У = СА^-1 (2)

Пример:

С

истема уравнений вида:

где m и n - натуральные числа, - заданные числа, - неизвестные, называется системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛАУ). Числа называются коэффициентами при неизвестных, числа - свободными членами.

Решением СЛАУ называется такой набор чисел , что каждое из уравнений системы

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет ни одного решения, определенной, если имеет единственное решение, неопределенной, если имеет более одного решения.

Две СЛАУ называются равносильными, если их решения совпадают.

Перестановки уравнений системы, умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля, прибавление к уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на постоянное число, исключение из системы уравнения, все коэффициенты которого равны нулю, называются элементарными преобразованиями СЛАУ.

Каждой СЛАУ соответствует матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, которая называется матрицей системы. Матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Перестановка строк матрицы, умножение какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля, прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на постоянное число, вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю, называются элементарными преобразованиями матрицы. Если матрица В может быть получена из матрицы А с помощью элементарных преобразований, то матрицы А и В называются эквивалентными.

8. Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

Способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). 

Если число уравнений системы (3.1) равно числу неизвестных, т.е. , то имеет место

Теорема 1. Если определитель матрицы системы (3.1) не равен нулю, то система (3.1) имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера

, где - определитель матрицы, получаемой из матрицы А системы (3.1) заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Пример:

Определители:

8. Система линейных уравнений. Метод Гаусса.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

В ходе решения системы методом Гаусса, работая со строками применяем элементарные преобразования.

Коэф х₃ =А х₃ = А/коэф